对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索

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在上一个讲对称与魔术的系列《对称与魔术初步（六）——魔术《4选1的诅咒》等》中，是继承了再早的一个系列《循环、递归与魔术（五）——再谈递归的魔术逻辑与欣赏》而来。后者更多强调的是时序结构上魔术流程的结构规律，能够让观众深深吸引；而前者则是一种静谧之美，用对称这等要素去呈现一番美的结局。

这个系列我们继续讲对称，而且要真正透过现象看不止，去揭开对称背后真正的数学结构的秘密。

面对更复杂的对称性

当时我们聊到对称的本质是不变性，是指某特性不随数学转换而变化，自然其范畴也不止几何图形的表面而已。哪怕就是几何图形本身，当变得像足球烯，晶胞这等足够复杂时，似乎之前那点知识也难以说清楚这其内在的结构，需要引入新的数学工具去描述和解决了。

比如，我好像觉得有点数不清魔方到底有多少种对称的拧法；这个足球烯和甲烷，甚至有些更复杂的结构，我也数不清，理不清他们的关系了。不过至少，可以把这些所有的针对同一个对象的对称操作合在一起构成一个集合，而且看起来，这个集合还因为每个元素都是同一个对象的对称操作而有着特殊的运算联系。并产生了一些问题：

比如，拿着魔方顶部一层连续顺时针拧90度4次，不仅恢复原状，而且是真的按照原来的每个块的编号各就各位的，这种性质怎么描述？

都是朝左和上各拧一次，先拧后拧到底有没有区别？

足球烯和甲烷，嵌在一个固定的模型里，每个顶点或面都有不同颜色区分地话，到底有多少种摆放方法？

而且，我还隐隐约约觉得，这种有着远超一种操作的对称图形或几何体，比如正二十面体，截半立方体等等，其给人美感的程度也远远超过一般的等腰三角形，长方形，正方形之流，那这种有一堆对称性的对象，我们该用怎样的数学结构来描述和解决呢？

好了，问题已经出现了，单单靠集合的知识已经超出处理范围了，面对复杂多重出现的对称，现有的数学工具已经说不清，道不明了。

数学家们应声出现，来用深邃的数学抽象思维，把这个问题安排得明明白白，