序列周期性与魔术（一）——数学里的函数周期性

在我们前面的文章中，介绍过函数的对称性，可逆性，常函数等内容。可以说，以函数关系为核心，可以建模很多现实生活中的事和魔术过程。接下来，我们进入另一个经典性质——周期性，内容较多，故单独成篇。

 

周期性是函数的重要性质，而序列这种离散形式的周期性又更加灵活。扑克牌叠天然的模型就是有限长度离散序列，虽然一副扑克牌里没有两张一模一样的，但是点数，花色之类的性质仍然可以构造出周期性的组成。这个系列我们先从数学角度认识一下周期性，再看看魔术师是怎么把这一性质应用在魔术中的。

 

数学里的函数周期性

 

定义：存在一非零常数T，使得f(x + T) = f(x)对任意定义域内的x成立，那么f(x)是一个周期函数，最小的T称为最小周期。

 

直观理解：如果把函数定义域放在实数集内，看起来就是连续序列上图形按照一定周期长度重复出现，或者从生成的角度看，是其任意基础周期通过平移（延拓）而无限生成的函数，所以有时候也叫循环。

 

图1 周期性的三角函数

 

 

深入理解：条件的恒等式成立的前提则是x + T必须随x一起在定义域内，即，定义域对g(x) = x + T至少要有封闭性，且T在这个函数对应的性质下，等于幺元，不改变此性质。看起来这就是在讲，在某个基础的X集合上（可以是一