对称、群论与魔术（二）——用群来描述对称性

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上一篇我们提到了在物理世界很常见的一类变换——几何变换，它们有着特殊的结构，在数学上是一个双射，而且其操作和结果有着一一映射关系，可以用排列来描述。于是我们可以单独拎出这个数学对象来，并抽象其数学部分，反哺物理的同时，形成数学自身的系统。

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对称性的群论公理描述推演

今天我们接着上一讲，来把那些从直觉开始的推导全都写成数学式子。

回顾上一讲讲的六边形旋转和翻转生成各种自己的案例，我们可以把这个过程抽象成这样。

有一个初始元素e，在e上有一些操作，操作在数学上并不看重其物理意义，（这也是数学的操作可以定义得物理学家抓狂而没法理解甚至鄙视的原因），只需要是一个定义清楚定义域和对应关系的映射就好了。这些操作不断作用在原始元素e上形成新的元素，并且这些元素是有限的（暂时讨论有限群），比如至少得存在一个n，使得f ^ n(x) = x等等，而里面的每个元素，本身就可以用一串操作序列来代表，表示这一串操作而来。那这样看明显有两个性质：

1. 每个操作的复合，即每个元素对应的操作本身，都是可逆的。

这很好证明，这相当于证明操作本身是一个其集合内所有元素到其上的一个双射，其复合自然也是。反证法就好了，假设存在元素x1, x2,有操作f(x1) = f(x2)，不是单射了，那其值域最多仅有n - 1个元素，全集和其差集至少有1个元素。即有1个元素，是任何集合里的元素经过该操作都到达不了的。那也就一定有 f ^ n(x) = x不成立，和原假设矛盾。其实这等价于在六边形的1号顶点左侧搞一个7 -> 1的映射，旋转的话有6 -> 1，于是会发现7怎么也转不回自己的情况。

可是如果不把f ^ n(x) = x看成初始条件，而是一条性质的话，我们单独看可逆这个说法，不管f是对应物理上的操作还是什么，可逆在数学上的解释，就一定是作为映射的f，是一个一一对应的双射。又因为所有元素都是f操作而来，因此只能是自身到自身的双射，否则象集合是新集合的真子集的话，那不可能是单射；是真超集的话，那多的那个元素在定义域内没有定义也是矛盾的。所以这里理解上也可以把可逆看成初始条件，等价于这个操作一定被一个数学上的双射描述。而很容易看到，如果是双射排列了，那么这个双射一定可以拆解成若干个互相等价的环，大小相同，互不相通，也自然有f ^ n(x) = x的性质了。这一点也是后面用cycle notation表示群结构的基础，另外这里的n值也称为该元素的阶。

而这里操作的可逆性在物理上其实是显然的，可以被认定正确的现象，只是不会像想为什么苹果会落下一样，一般不会去想我移动一个木头块这里会有什么群的数学结构。你拿着图形怎么转过去的，就怎么转回来，怎么折过去，平移过去的，就怎么平移回来，天然就是可逆的，不过数学上我们却要抽象