Codeforces Round #721 (Div. 2) B2. Palindrome Game (hard version) （博弈问题）

题目链接：https://codeforces.com/contest/1527/problem/B2

题目大意：

有一个长度为的字符串，由字符'0'和'1'组成。

Alice和Bob进行游戏，一人操作一个回合，Alice先。

每个回合可以进行两种操作:

1，把某个字符‘0’变成'1'，支付1元

2，若目前字符串不是回文串，且上个回合不是执行的操作2，则可以把字符串翻转，支付0元

最后字符串全部变为1时，游戏结束，此时花的钱少的人获胜。

本题有两个版本：

1，简单的版本：初始的时候字符串是回文串

2，复杂的版本：初始的时候字符串不一定是回文串

题解：

首先讨论下简单的版本，如何解决：

显然，由于初始字符串是回文，我们不用考虑字符1的数量和位置，我们只关心字符0的数量，接下来我们试试从最简单的开始分析

0个0，这时显然打平

1个0，这时显然后手赢

2个0，显然还是后手赢

3个0，先手可以先把中间的0变为1，然后此时BOB就面对两个0的情况，而两个0的情况是后手赢，此时的后手时变成了Alice，所以先手必赢

4个0，这种情况策略要多些，一种策略是Alice任意改变一个0，BOB翻转字符串，这种策略下去BOB只能打平。还有另外一种策略，Alice改变一个0，Bob改变对应对称位置的0，此时两个人打平，然后剩下两个0的情况，此时为后手赢，所以BOB能赢2元钱。

5个0，Alice操作中间的0，然后就变为4个0的情况，由前面的结论可知Alice可以赢1元钱

以此类推，若有偶数个0，BOB可以一直在Alic对称的位置操作，直到剩下两个0，此时BOB就必赢了。

若有奇数个0且个数大于1，Alice先操作中间的0，然后就变成了偶数个0的情况，而面对偶数个0是后手赢，所以先手必赢.

 

接下来讨论复杂的版本：

我们假设存在x个0，其对称位置的字符为1

那么Alice可以首先翻转字符串，Bob只能优先操作x个0的某个0，因为若操作对称位置也为0的0，那么相当于x+1，Alice下个回合又可以翻转