Codeforces Round #728 (Div. 1) B. Tree Array（期望、dp）

最新推荐文章于 2022-11-22 23:15:14 发布

madaidao

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分类专栏： codeforces 数学动态规划文章标签：算法

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题目链接：https://codeforces.com/contest/1540/problem/B

题目大意：

n $(n<=200)$ 个节点的树。初始的时候，等概率随机选择一个点标记，接来随机选择一个与标记点相连的未标记点来标记，直到所有的点都被标记。根据点被标记的顺序，生成一个数列。这个数列的逆序对的期望个数为多少个？

题解：

我们单独计算每对逆序对出现的概率，也就是对于 $a>b$ ，a在b之前被标记的概率。

我们可以分别计算出每个点第一个选时，逆序对 $(a,b)$ 出现的概率。

当点 $i$ 第一个选时，我们可以把点 $i$ 当作树的根节点。

设 $lca(a,b)$ 为点a和点b的最近公共祖先。

当 $lca(a,b)$ 被标记后，接下来的点的标记情况有三种：

1，标记点与a，b无关

2，标记一个离a更近的点

3，标记一个离b更近的点

显然，标记离a更近的点和标记离b更近的点的概率是相同的

设a距离 $lca(a,b)$ 的距离为x，b距离 $lca(a,b)$ 的距离为y

那么我们可以把问题抽象为，有两堆物品，第一堆有x个，第二堆有y个，每次等概率的从两堆中选择一堆取走一个物品，求第一堆物品先取完的概率。

我们可以用动态规划计算这个问题。

我们定义 $F[x][y]$ 为问题的解，那么 $F[x][y]=(F[x-1][y]+F[x][y-1])/2$

复杂度 $O(n^3logn)$

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int nn =210;
const int inff = 0x3fffffff;
const double eps = 1e-8;
typedef long long LL;
const double pi = acos(-1.0);
const LL mod = 1000000007;
struct node
{
    int en,next;
}E[nn*2];
int p[nn];
int num;
int n;
LL POW(LL x,LL y)
{
    LL ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ret=(ret*x)%mod;
        y/=2;
        x=(x*x)%mod;
    }
    return ret;
}
LL F[nn][nn];
void init()
{
    memset(p,-1,sizeof(p));
    num=0;
    memset(F,0,sizeof(F));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        F[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            F[i][j]=(F[i-1][j]+F[i][j-1])*POW(2,mod-2)%mod;
        }
    }
}
void add(int u,int v)
{
    E[num].en=v;
    E[num].next=p[u];
    p[u]=num++;

    E[num].en=u;
    E[num].next=p[v];
    p[v]=num++;
}
int fa[nn][15];
int dep[nn];
void dfs(int id,int pre)
{
    for(int i=p[id];i!=-1;i=E[i].next)
    {
        int en=E[i].en;
        if(en==pre)
            continue;
        dep[en]=dep[id]+1;
        fa[en][0]=id;
        for(int i=1;i<10;i++)
            fa[en][i]=fa[fa[en][i-1]][i-1];
        dfs(en,id);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]>dep[y])
        swap(x,y);
    int dis=dep[y]-dep[x];
    for(int i=0;(1<<i)<=dis;i++)
    {
        if(dis&(1<<i))
        {
            y=fa[y][i];
        }
    }
    while(x!=y)
    {
        for(int i=0;i<10;i++)
        {
            if(fa[x][i]==fa[y][i])
            {
                if(i==0)
                {
                    x=fa[x][0];
                    y=fa[y][0];
                } else {
                    x=fa[x][i-1];
                    y=fa[y][i-1];
                }
                break;
            }
        }
    }
    return x;
}
LL solve(int x)
{
    for(int i=0;i<10;i++)
        fa[x][i]=x;
    dep[x]=0;
    dfs(x,x);
    LL ret=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            int tem=lca(i,j);
            //cout<<x<<" "<<i<<" "<<j<<" "<<tem<<endl;
            ret=(ret+F[dep[i]-dep[tem]][dep[j]-dep[tem]])%mod;
        }
    }
    return ret;
}
int main()
{
    cin>>n;
    init();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
    }
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=(ans+solve(i))%mod;
    }
    ans=ans*POW(n,mod-2)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}