UVA 11440 - Help Tomisu（素数筛选+容斥原理+逆元 or 欧拉函数）

最新推荐文章于 2022-09-15 15:16:16 发布

madaidao

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分类专栏：数学文章标签：欧拉函数数论容斥原理

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/madaidao/article/details/115422243

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该博客介绍了如何解决UVA 11440问题，即计算在一定范围内所有素因子大于指定数m的数的个数。博主提供了两种解题方法，第一种利用容斥原理和逆元，通过递推公式计算；第二种方法结合欧拉函数的性质简化计算。博主强调理解欧拉函数的推导过程对于解题至关重要，并给出了相应的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给定两个数 $N,M(1<N<=10^7,M<N)$ ，求 $2$ 到 $N!$ 的所有数中，所有素因子都大于m的数的个数，答案模以 $10^8+7$ 。

题解：

个人的解法1：

反过来计算存在素因子小于等于m的数的个数，假设小于m的素数有k个 $a1,a2,a3...ak$ ，

那么 $N!/a1$ ，就是小于等于 $N!$ 的数中包含素因子 $a1$ 的数的个数， $N!/a1a2$ 就是同时包含素因子a1和a2的数的个数，那么根据容斥原理，我们可以这样计算

$N!/a1+N!/a2+....+N!/ak-N!/a1a2-N!/a1a3.....+N!/a1a2a3.....$

奇数个素因子的组合就加，偶数个素因子的组合就减，就能计算出答案。

暴力枚举所有组合情况显然复杂度太高，接下来才是解决问题的关键，如何计算这个值？

我个人的方法，通过递推求解，我们从前往后求，假设我们已经求得了前 $i$ 个素数的结果为 $f(i)=N!/a1+..N!/a2-N!/a1a2......$ ，

现在第 $i+1$ 个数加入进来，那么我们首先加上 $N!/a_{i+1}$ ，第i+1个素数和其它素数的组合怎么计算了，只需要减去 $f(i)/a_{i+1}$ 即可，即 $f(i)$ 的每一项除以 $a_{i+1}$ ，但是符号要改变，所以前面加个减号。

所以我们可以得到

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