17、特征值、特征向量与埃尔米特矩阵的深入探究

特征值、特征向量与埃尔米特矩阵的深入探究

1. 特征值与特征向量的性质

在矩阵分析中，特征值和特征向量是非常重要的概念。我们先来看一个具体的矩阵示例，设矩阵 (A = \begin{bmatrix}3 & 2 \ 2 & 3\end{bmatrix})，它的特征值分别为 (\lambda_1 = 5) 和 (\lambda_2 = 1)。对应的归一化右特征向量分别为 (x_1 = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}) 和 (x_2 = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix})，左特征向量分别为 (y_1 = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}) 和 (y_2 = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix})。

特征值的条件数对于分析矩阵的稳定性很关键。对于 (\lambda_1 = 5) 和 (\lambda_2 = 1)，它们的条件数均为 1。这意味着对于一个小的扰动 (t)，矩阵 (A + tE) 的特征值与矩阵 (A) 的特征值的差异最多约为 (t)。这里需要注意的是，矩阵 (A) 是对称矩阵。

对于特征向量的条件，我们从两个方面进行分析。经过计算发现，相关系数都为 1，并且 (|\lambda_1 - \lambda_2| = 4)，这表明特征向量的系数具