3、向量空间与维度的深入探究

向量空间与维度的深入探究

1. 向量空间的基础概念

在数学领域中，存在许多代数系统，它们在算术性质上与 (R^2) 和 (R^3) 极为相似。这些系统在数学研究中频繁出现，对它们的一般性研究十分必要。

向量空间是一个非空集合 (V)，其元素被称为向量，同时还存在一组被称为标量的数，标量集合可以是实数集 (R) 或有理数集 (Q)。向量空间有两种主要运算：
- 向量加法 ：对于任意两个向量 (x) 和 (y)，它们的和记为 (x + y)，且需满足以下性质：
- 交换律：(x + y = y + x)；
- 结合律：((x + y) + z = x + (y + z))；
- 存在零向量 (0)，使得 (0 + x = x)；
- 对于任意向量 (x)，存在唯一的负向量 (-x)，使得 (x + (-x) = 0)。
- 标量乘法 ：一个标量 (a) 与向量 (x) 的乘积记为 (ax)，需满足以下性质：
- 分配律：(a(x + y) = ax + ay)；
- 分配律：((a + \beta)x = ax + \beta x)；
- 结合律：(a(\beta x) = (a\beta)x)；
- 单位元性质：(1x = x)。

下面通过一个引理来扩展向量空间的性质：
- 引理 2.1 ：向量空间还具有以下性质：
- (0x = 0)；
- (a0 = 0)；
- (-1x = -x)；
- (ax = 0) 意味着 (