2、矩阵代数基础：线性方程组、行列式与MATLAB应用

矩阵代数基础：线性方程组、行列式与MATLAB应用

1. 线性方程组的求解

1.1 基本概念

线性方程组通常可以表示为如下形式：
(\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
\cdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases})
为了求解该方程组，我们通常将其简化为行阶梯形（staggered rows），例如：
(\begin{cases}
\otimes x_1 + x_2 + \cdots + x_n = * \
\otimes x_2 + \cdots + x_n = * \
\cdots \
\otimes x_n = *
\end{cases})
其中，(\otimes) 表示非零标量，( ) 表示任意标量。这里，(\otimes) 被称为主元（pivots），与之对应的变量称为主元变量（pivot variables），其余变量则称为自由变量（free variables）。

1.2 求解方法

求解简化后的方程组时，我们先将每个自由变量设为任意标量，然后从最后一个方程开始，逐步向上求解主元变量，这种方法称为回代法（back substitution）。

为了将方程组简