16、偏微分方程的特征线法与变量分离法

偏微分方程的特征线法与变量分离法

1. 一阶偏微分方程与特征线法

在许多偏微分方程入门课程中，一阶偏微分方程的“传输”问题是一个经典主题。这类问题的形式通常为：
[u_t + p(x, t, u)u_x = q(t, x, u), t > 0]
并且给定初始条件 (u(x, 0) = f (x))，其中 (x \in [a, b])。对于这类问题，特征线法是一种有效的分析方法。

在求解这类一阶方程时，使用差分矩阵的效果有限。因此，我们介绍如何使用特征线法，并借助 MATLAB 的内置求解器 ode45 来获得近似解。

对于每个 (x_0 \in [a, b])，需要求解以下常微分方程组：
[
\begin{cases}
x’(t) = p(x(t), t, v(t)) & x(0) = x_0 \
v’(t) = q(x(t), t, v(t)) & v(0) = f (x_0)
\end{cases}
]

以下是实现特征线法求解一阶偏微分方程的 MATLAB 代码：

p = @(x,t,u) 1-2*u;
q = @(x,t,u) t*ones(size(x));
f = @(x) (2*(x-1/4)).*(x>1/4).*(x<3/4) + (x>=3/4);

G = @(t, w) [p(w(1:m+1),t,w(m+2:end)); ...
              q(w(1:m+1),t,w(m+2:end))];