17、偏微分方程分离变量法及半线性椭圆边值问题算法

偏微分方程分离变量法及半线性椭圆边值问题算法

偏微分方程分离变量法

在处理偏微分方程（PDE）时，分离变量法（SOV）是一种强大的工具，尤其适用于矩形和极坐标区域。下面我们将分别探讨热方程和波动方程的分离变量法求解。

热方程

热方程的一般形式为：
[
u_t = c\Delta u, \quad t > 0, \quad x \in \Omega \subset \mathbb{R}^n
]
初始条件为 (u(0, x) = f(x))。我们寻求形式为 (u(t, x) = p(t)q(x)) 的解，这会导致特征值问题：
[
-\Delta q = \lambda q
]
在区域 (\Omega) 上，边界条件与原方程相同。通过求解特征值问题，我们得到特征值 (\lambda_k) 和对应的特征函数 (\psi_k)。然后求解一阶常微分方程 (p’ = -c\lambda_k p)，得到 (p_k(t) = a_k e^{-c\lambda_k t})。因此，热方程的通解为：
[
u(t, x) = \sum_{k} a_k e^{-c\lambda_k t} \psi_k(x)
]
其中，(a_k) 是初始温度 (f(x)) 的特征函数展开系数，因为 (u(0, x) = f(x) = \sum_{k} a_k \psi_k(x))。

为了更好地理解，我们来看几个例子：
- 例 4.23
- 情况 (a) ：(u_t = u_{xx},