9、偏微分方程分离变量法与半区间展开的深入解析

偏微分方程分离变量法与半区间展开的深入解析

1. 分离变量法求解热传导问题

在处理热传导问题时，分离变量法是一种强大的工具。以“薄的侧向绝缘”环中的热流问题为例，我们考虑如下偏微分方程和边界条件：
- 单个分离解满足偏微分方程和（周期性）边界条件，但通常不满足初始条件 (u(\theta,0) = f(\theta), 0 < \theta < 2\pi)。
- 由于控制方程的线性性质以及分离解的和仍满足空间边界条件，我们得到形式解：
[u(\theta, t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\theta} e^{-Kn^2t}]
为了匹配 (t = 0) 时的初始条件，我们需要：
[f(\theta) = u(\theta, 0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\theta}]
由此唯一确定展开式的常数 ({C_n} {n=-\infty}^{\infty}) 为初始温度分布函数 (f) 的复傅里叶展开系数，即：
[C_n = \frac{1}{2\pi} \int {0}^{2\pi} f(\theta) e^{-in\theta} d\theta]
若将该系数公式代入解的公式，最终解可表示为上述形式。

示例：初始温度分布为 (f(\theta) = \theta, 0 < \theta < 2\pi)

容易计算得到 (C_0 = \pi)，(C_n = -\frac{1}{in}, n \neq 0)。因此，解的形式为：
[u(\theta,t)=\