98、电路时域分析：一阶与二阶电路详解

电路时域分析：一阶与二阶电路详解

1. 一阶电路分析

在电路分析中，一阶电路是基础且重要的部分。对于一阶电路，其输出响应的表达式与相关参数紧密相关。

当 (d_1 \neq 0) 时，输出 (y) 的表达式为：
(\begin{cases}
y = \left{ \frac{n_1}{d_1} \delta(t) + \left[ \frac{d_1 n_0 - d_0 n_1}{d_1^2} e^{-d_0 t/d_1} \right] 1(t) \right} * u, & d_1 \neq 0
\end{cases})
这里，(*) 表示卷积，(\delta(\cdot)) 是单位冲激函数，(1(\cdot)) 是单位阶跃函数。大括号内的项就是因果冲激响应 (h(t))，可通过令 (u = \delta) 且初始条件为零来验证。实际上，在式中可以使用无限多个非因果冲激响应，例如将 (1(t)) 替换为 (-1(-t)) 就能得到一个非因果冲激响应，但在实际物理应用中，因果响应更受关注。

电路的稳定性与时间常数 (t_c) 密切相关。时间常数 (t_c = \frac{d_1}{d_0})（当 (d_0 \neq 0) 时），它决定了电路冲激响应衰减到初始值的 (1/e) 所需的时间。具体情况如下：
- 若时间常数为正，零输入响应和冲激响应会随着时间趋于正无穷而渐近衰减到零，此时电路是渐近稳定的。
- 若时间常数为负，这两种响应会随着时间趋于正无穷而无界增长，电路则被称为不稳定的。不过，当时间反向趋于负无穷时，不稳定的零输入响应会衰减到零。
- 若 (\frac{d_0}{d_1} = 0)，零输入