34、小波变换：理论、应用与构建

小波变换：理论、应用与构建

1. 小波变换基础

小波变换在信号处理领域有着重要的地位。首先，我们定义了函数 $\psi(t)$，其满足特定的膨胀方程：
$\psi(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_s(n) [\varphi(2t - n) - \varphi(2t - n - 1)]$
这里的 $\varphi(t)$ 是尺度函数，$g_s(n)$ 是系数。函数 $\psi(t)$ 具有一些有用的性质，它属于 $L^2$ 空间，并且 ${\psi(t - n)}$ 构成了 $W_0$ 的正交基，${2^{k/2}\psi(2^k t - n)}$ 则是 $W_k$ 的正交基。对于任意 $L^2$ 信号 $x(t)$，可以将其表示为在相互正交空间 $V_0, W_0, W_1, \cdots$ 上投影的和：
$x(t) = \sum_{n} d_0(n) \varphi(t - n) + \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n} c_k(n) 2^{k/2} \psi(2^k t - n)$
其中，$d_0(n)$ 是多分辨率系数，$c_k(n)$ 是小波系数。

2. 多分辨率分析与半酉滤波器组的关系

多分辨率分析与半酉滤波器组之间存在着深刻的联系。设 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 分别满足膨胀方程，通过构造可知 $\psi(t) \in W_0$ 且 $\varphi(t) \in V_0$。由于 $W_0$ 和 $V_0$ 是相互正交的子空间，可以证明滤波器 $H_s(e^{j\omega})$ 和 $G_s(e^{j\omega})$ 满足以下关系：
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