14、Z变换：性质、逆变换及应用详解

Z变换：性质、逆变换及应用详解

1. 逆Z变换

1.1 有限阶多项式Z变换的逆变换

对于有限阶多项式的Z变换 (X(z))，其对应的序列 (x(n)) 是有限长序列，(x(n)) 就是 (X(z)) 中 (z^{-n}) 的系数。例如，若 (X(z)) 中 (z^0) 的系数为4，则 (x(0) = 4)；若 (z^2) 和 (z^{-2}) 的系数为3，则 (x(2) = x(-2) = 3)。

1.2 一阶有理函数Z变换的逆变换

当 (X(z)) 是两个一阶有理函数的和，且其收敛域是圆的外部时，(x(n)) 是右边序列。可以利用右边指数序列的Z变换对来轻松实现 (X(z)) 的逆变换。

1.3 二次分母有理函数Z变换的逆变换

对于分母是关于 (z) 的二次式的有理函数 (X(z))，在求逆Z变换之前，需要先对分母进行因式分解，然后进行部分分式展开。例如：
[X(z)=\frac{1 + 2z^{-1}-z^{-2}}{(1 - \frac{1}{2}z^{-1})(1 - \frac{1}{3}z^{-1})}]
先将其进行部分分式展开，再求逆Z变换。

1.4 其他形式Z变换的逆变换

• 对数形式Z变换 ：对于 (X(z) = \log(1 - \frac{1}{2}z^{-1}))，(\vert z\vert > \frac{1}{2})，可以通过查找或计算对数函数的幂级数展开来求解，也可以对 (X(z)) 求导。对 (X(z)) 求导后乘以 (-z)，得到新的Z变换 (Y(z))，根据