矩阵连乘C++ 动态规划dp

矩阵连乘

Description

由不同加括号顺序所带来的矩阵乘积的代价不同，考虑三个矩阵的链(A_1,A_2,A_3)的问题。假设三个矩阵的维数分别为10∗10010∗100，100∗5100∗5，5∗505∗50。如果按((A1A2)A3)((A1​A2​)A3​)规定的次序来做乘法，求105105的矩阵乘积A1A2A1A2要做10∗100∗5=500010∗100∗5=5000次的标量乘法运算，再乘上A3A3​还要做10∗5∗50=250010∗5∗50=2500次标量乘法，总共75007500次标量乘法运算。如果按(A1(A2A3))(A1​(A2​A3​))的次序来计算，则为求1005010050的矩阵乘积A2A3A2​A3​要做100∗5∗50=25000100∗5∗50=25000次标量乘法运算，再乘上A1A1​还要10∗100∗50=5000010∗100∗50=50000次标量乘法，总共7500075000次标量乘法运算。因此，按第一种运算次序进行计算就要快到1010倍。

矩阵链乘法问题可表述如下:给定nn个矩阵｛A1,A2,…,An｝｛A1​,A2​,…,An​｝，其中，Ai与Ai+1Ai​与Ai+1​是可乘的，(i=1,2,…,n−1)(i=1,2,…,n−1)。用加括号的方法表示矩阵连乘的次序，不同的计算次序计算量（乘法次数）是不同的，找出一种加括号的方法，使得矩阵连乘的次数最小。

Input

输入一个nn表示有nn个矩阵

第二行输入n+1n+1个数字，其中第ii个数字和第i+1i+1个数字合成一个矩阵。

Output

输出一个数且不带任何空格回车，表示最小运算次数。

**注意，本OJ不支持行末空格回车特判**

Sample Input 1 

3
10 100 5 50

Sample Output 1

7500

Source

广西大学在线评测平台 https://oj.gxu.edu.cn

思路

用动态规划，先解决更小的子问题，然后逐步求解更大的问题。
对于每个 i 和 j，首先初始化 dp[i][j] 为直接相邻矩阵相乘的结果，然后通过遍历可能的分割点 k 来求解更优的矩阵链相乘顺序。
k表示将矩阵链从 i 到 j 切分为两部分，分别计算左边和右边的最小乘法次数，再加上分割后两部分矩阵相乘所需的标量乘法次数。然后取最小值。

参考王晓东的《算法设计与分析》

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int p[10001];//存放n+1个数字
int dp[1000][1000];//dp[i][j]表示从第i个矩阵乘到第j个矩阵的最小乘积


void matrixChainOrder(int n){
    //r是矩阵链的长度(r等于几表示几个矩阵相乘)
    for(int r=2;r<=n;r++){
        //i是起点，j是终点
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
            int j=i+r-1;
            dp[i][j]=dp[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
            //k是分割点
            for(int k=i+1;k<j;k++){
                int t=dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<dp[i][j]){
                    dp[i][j]=t;
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        cin>>p[i];
    }
    matrixChainOrder(n);
    cout<<dp[1][n];
    return 0;
}