【动态规划】多重背包问题详解超详细总结 dp

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#算法 #动态规划 #c++ #数据结构

于 2023-03-07 19:09:23 首次发布

文章介绍了多重背包问题的动态规划解决方案，包括朴素版本和两种优化方法：二进制优化和单调队列优化。二进制优化通过将物品数量打包成二进制形式降低复杂度，而单调队列优化则用于进一步提高效率。

什么是多重背包问题？

有n种物品和一个容量是 $m$ 的背包。第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，输出最大价值。

dp问题的通用分析方法

在这里插入图片描述

先考虑用几维状态来表示，背包问题一般用两维表示。【经验】
状态计算是把每个状态一步一步算出来。
DP优化一般是指对动态规划的代码或计算方程做一个等价变形。一般是先将最基本的代码写出来再考虑去优化。
这里介绍的DP理解方式是从集合的角度去理解。这里以0-1背包为例子，f(i, j)对应一个集合，是只考虑前i个物品，且背包容量不超过j的所有选法构成的一个集合。（一个选法是指从第1到第i个物品，经过的物品你要么选，你要么不选，这就构成一种选法）
f(i, j)一定是集合的某种属性（这种属性一般可以是Max、Min、数量等等）

一、多重背包——朴素版

在这里插入图片描述

公式推导类似完全背包过程，不熟悉的朋友可以参考我写的完全背包问题。

代码——朴素版

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;
int f[N][N], v[N], w[N], s[N];
int n, m;
int main(){
   
   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
   
   
        for(int j = 1; j <= m;</