多重背包问题---超详细讲解+优化（不懂你揍我）

多重背包我们其实可以看成为01背包和完全背包的组合。也可以把多重背包问题只转换成01背包问题，我们一起来看看解题思路。

1.状态表示

DP问题我们先来看状态表示,

二维数组的表示，F[i][j]代表到 i 个物品时，当前背包容量为 j 时所能拿到的最大价值。非常容易理解，我们主要考虑一下优化，用一维数组来表示，则用 F [j] 代表当前背包容量为 j时所能拿到的最大价值。第i个物体的体积为v[i]，价值为 w [i]。

然后我们就看如何把多重背包转换成01背包与完全背包。

当然，01背包和完全背包转移方程都是

F [j]=max(F [j], F [ j- v [i] ]+ w [i])

2.转换

（1）转换为01背包

我们知道，01背包问题指的是各个物品只有一件，但在多重背包问题中，我们每种物品有 Si 件。

我们可以考虑将多个同种物品合成一件物品。比如，我们有10件t恤，一件占空间2，每件价值20元，我们将8件t恤合在一起，就变成了一件1占空间为16的价值160元的t恤。如此一来，多重背包问题就被我们转换为01背包问题啦。

换一种更为简单的说法，我们本身的问题就是不知道一种占用空间 Vi ，价值为 Wi，数量为 Si 的物品该拿多少件，我们就把该拿多少件枚举一下，假设为 k件（1<=k<=Si） ，然后我们就把问题看成仅有一件的占用空间k*Vi ，价值为k*Wi的物品该不该拿。这么说就应该很容易理解了，然后我们要做的就是，在判断这个k件物品合成的 大物件该不该拿之前，先枚举 k 的大小就可以了。

（2）小优化，转化为01+完全背包

前面我们是把所有物品全部转化成01背包来做，但是我们想一想，是不是有的物品可以转化成完全背包呢？

完全背包问题是每件物品全部是无限件。我们这里有无限拿的物品吗？我们可以想想，总的背包体积就是 V ，是已经确定了的，如果我们有一种物品占用体积为 v，共有 s 件，但s*v >=V，不就代表着我们连 s 件物品都不可能拿完背包就已经塞不下了吗？所以这种情况我们可以转换成完全背包来做，只需要加一个判断就可以了。

为什么要转换成完全背包？我们看上面转化成01背包是需要枚举一下拿多少件的，而转化为完全背包是不需要枚举多少件的，可以拿我们就拿