Coins (多重背包)模板题

本文介绍了一种多重背包问题的模板,涉及硬币支付与找零优化。给定不同面值的硬币及数量,目标是计算能够精确支付1到m范围内多少种价格。输入包括硬币种类数n、最大价格m以及每种硬币的面值和数量。通过将问题分解为完全背包和01背包,利用二进制优化来避免超时,找出能支付的最大价值。

模板请看上一篇博客

Whuacmers use coins.They have coins of value A1,A2,A3...An Silverland dollar. One day Hibix opened purse and found there were some coins. He decided to buy a very nice watch in a nearby shop. He wanted to pay the exact price(without change) and he known the price would not more than m.But he didn't know the exact price of the watch.

You are to write a program which reads n,m,A1,A2,A3...An and C1,C2,C3...Cn corresponding to the number of Tony's coins of value A1,A2,A3...An then calculate how many prices(form 1 to m) Tony can pay use these coins.

Input

The input contains several test cases. The first line of each test case contains two integers n(1 ≤ n ≤ 100),m(m ≤ 100000).The second line contains 2n integers, denoting A1,A2,A3...An,C1,C2,C3...Cn (1 ≤ Ai ≤ 100000,1 ≤ Ci ≤ 1000). The last test case is followed by two zeros.

Output

For each test case output the answer on a single line.

<think>嗯,用户问的是多重背包算法在付款系统中的实现和应用场景。首先,我需要回忆一下多重背包问题的定义和常见的解决方法。多重背包问题允许每种物品有多个,但数量有限,这与完全背包不同,后者每种物品可以无限取用。常见的解法包括二进制优化和单调队列优化。 接下来,我得考虑支付场景中的具体需求。比如在付款时,用户可能有不同面值的货币或优惠券,每种面值有数量限制,系统需要组合这些来支付特定金额。这时候,如何高效地找到最优组合,可能用到多重背包算法。 然后,我需要联系实际应用。比如在自动售货机找零时,硬币的数量是有限的,系统需要计算如何用最少的硬币数量完成找零。或者在使用优惠券时,用户有多张不同面值的优惠券,每种只能用一定次数,这时候如何最大化优惠金额也是一个多重背包问题。 然后,实现方面,可能需要动态规划。状态转移方程可能需要处理每种物品的数量限制。比如二进制优化将物品数量分解成多个二进制块,这样可以转换成0-1背包问题,但效率可能更高。或者使用滚动数组来优化空间复杂度。 还需要考虑实际支付系统中的约束,比如处理时间要快,尤其是当金额较大时,算法的时间复杂度不能太高。可能需要对算法进行优化,比如使用贪心算法结合动态规划,或者在特定条件下提前终止搜索。 另外,用户提到的参考引用中有动态规划的相关内容,特别是状态转移方程,这可能在构建解决方案时很重要。需要确保引用的正确性,比如引用[2]提到的分组背包可能不太相关,但状态转移的思想可以借鉴。 可能还需要比较其他算法,比如贪心算法是否适用,但贪心在背包问题中通常不保证最优解,除非面值符合特定条件(如硬币面值设计为贪心友好)。因此,动态规划方法更可靠,尽管计算量可能更大。 最后,生成相关问题时要围绕多重背包的应用、优化以及与其他问题的对比,这样可以帮助用户更全面地理解该算法在支付系统中的位置和作用。</think>### 多重背包问题在支付系统中的实现与应用 #### 1. 多重背包问题定义 多重背包问题的数学模型为: $$ \text{最大化} \sum_{i=1}^n v_i x_i \quad \text{满足} \quad \sum_{i=1}^n w_i x_i \leq W,\ 0 \leq x_i \leq c_i $$ 其中 $v_i$ 为价值,$w_i$ 为重量,$c_i$ 为物品数量限制,$W$ 为背包容量[^2]。 #### 2. 支付场景中的具体应用 **案例1:组合支付优化** 在跨境支付系统中,需要将不同面值的外币现钞组合支付指定金额。例如: - 美元面值:\$1(10张)、\$5(5张)、\$20(2张) - 目标金额:\$87 此时可通过多重背包算法找到**使用最少张数**或**特定币种组合**的最优解。 **案例2:优惠券核销** 用户持有满减券(满100减20,限用3张)、折扣券(8折券,限用1张)等不同类型优惠券时,系统需要根据订单金额选择最优组合实现最大优惠[^1]。 #### 3. 核心实现方法 **二进制优化实现(Python示例)** ```python def multiple_knapsack(amount, coins): dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 for coin, count in coins.items(): # 二进制拆分优化 k = 1 while k <= count: weight = coin * k for j in range(amount, weight - 1, -1): dp[j] = min(dp[j], dp[j - weight] + k) count -= k k *= 2 if count > 0: weight = coin * count for j in range(amount, weight - 1, -1): dp[j] = min(dp[j], dp[j - weight] + count) return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 ``` **关键优化点** 1. **空间压缩**:使用一维滚动数组降低空间复杂度至 $O(W)$ 2. **提前终止**:当金额达到支付目标时立即返回结果 3. **边界处理**:对超大金额进行分片计算 #### 4. 工程实践要点 - **时间复杂度**:$O(N \cdot W)$(N为拆分后的物品总数) - **内存优化**:通过动态数组复用减少GC压力 - **并发计算**:对大额支付任务采用分段并行计算 - **缓存机制**:对常用金额组合预存计算结果 #### 5
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