九大背包问题专题--多重背包问题(二进制优化方法;单调队列问题)

最新推荐文章于 2025-09-29 21:06:53 发布

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本文深入解析多重背包问题的三种解决策略：基本解法、二进制优化及单调队列优化，探讨不同场景下的时间复杂度与算法实现。

3.多重背包问题1

题目：
有N件物品和一个容量是V的背包。
第i种物品最多有si件，每件的体积是vi，价值是wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包的容量，且价值总和最大。

输入格式
第一行有两个整数，N,V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有N行，每行三个整数vi，wi，si，用空格隔开，分别表示第i种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值

数据范围
0<N.V<=100
0<vi,wi，si<=100

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例
10

分析思路：

时间复杂度O(n^3)

f[i]:表示总体积是i的情况下，最大价值是多少

每件物品选法，假设有s个，则选法有s+1种选法。可以选0,1,2,3…m个。

01背包：

从前往后考虑
for(int i=0;i<n;i++){
   
   
    for(int j=m,j>=v[i];j--)
       f[j]=max(f[j]，f[j-v[i]]+w[i])

选的话为f[j-v[i]]，不选的话为f[j]不变

多重背包
可以看做01背包的扩展

状态转移加一种循环

选法有很多种，0,1,2，…s

f[j]=max(f[j]，f[j-v[i]]+w[i]，f[j-2*v[i]]+w[i]...);

第一种情况，在初始化的时候，把所有f[i]都初始化为0，答案就是f[m]
f[i]=0;

第二种情况：在初始化时把f[0]=0,其余f[i]都初始化为负无穷，枚举0~m求最大值。
f[0]=0;
f[i]=-INF；（i!=0）
max{
   
   f[0....m]}

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=110;
int n,m; 
int f[N];
int main(){
   
   
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<n;i++){
   
     //枚举所有物品