数论问题41

题1，对给定的自然数m与n，m<n，试确定，是否任意一个由n个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们之积被mn整除。

 

分析:给一个特例，如m=2，n=3，任意三个连续的整数都存在两个不同的数，其积被6整除:{1，2，3}，{5，6，7}，…，{n，n+1，n+2}。

 

解:回答是肯定的。设n个连续的整数a(1)，a(2)，…，a(n)。则由m<n≤a(n)-a(1)+1可知，在这n个连续的整数中必有n的倍数a(i)和m的倍数a(j)。如果i≠j，则乘积a(i)a(j)被mn整除。现考虑i=j的情况，记m，n的公约数d=(m，n)，m，n的最小公倍数q=[m，n]。则

mn=dq，d|a(i)，q|a(i)。

我们证明d的倍数a(i)+d，或a(i)-d至少有一个属于集合{a(1)，a(2)，…，a(n)}，倘若不然，则a(i)+d>a(n)，a(i)-d<a(1)，由此得到，i+d≥n+1，i-d<1，从而2d>n。但d|n，因此d=n>m，这与d丨m矛盾。于是a(i)与a(i)+d(或a(i)-d)即为所求，因为乘积a(i)(a(i)±d)被dq(=mn)整除。(李扩继)