[Siciliano Robotics]2.8.2 Denavit-Hartenburg convention

Denavit–Hartenberg Convention被设计用于针对开环机械臂中的direct kinematics equation计算问题，其目的是寻求一种适用于dke递归表示的表征两个consecutive manipulator间的相对位姿关系。

DH Convention的问题可以提炼为：如何定义固连在两个links上的坐标系，并且计算它们之间的坐标变换关系。

坐标系建立

记 Axis $i$表示连接Link $i-1$和Link $i$的joint；之后，可以采用Denavit–Hartenberg Convention来定义link Frame $i$ ，其方法如下。

1. 选定axis $z_i$为Joint $i+1$；
2. 将原点$O_i$设定在axis $z_i$，同axis $z_i$与axis $z_{i-1}$common normal的交点上；
3. 将原点$O_i^{{}^{\prime }}$设定在axis $z_i$，同axis $z_i$与axis $z_{i-1}$common normal的交点上；
4. 沿着axis $z_i$与axis $z_{i-1}$common normal选定axis $x_i$，定义其正方向为由Joint $i$指向Joint $i+1$；
5. 依据右手定则选定axis $y_i$。

非唯一情况

在如下的情况下Denavit-Hartenberg Convention会给出不唯一的link frame：

• 对Frame $0$而言，仅axis $z_0$方向被指定，$O_0$与axis $x_0$可以被任意指定；
• 对Frame $n$而言，由于Joint $n+1$不存在，axis $z_n$未被唯一定义，axis $x_n$仍然需要垂直于axis $z_{n-1}$。典型地，Joint $n$是revolute类型的，因此$z_n$可以选定为与$z_{n-1}$的方向；
• 当两个consencutive axises是平行的，则它们的common normal不被唯一定义；
• 当两个consencutive axises是相交的，则axis $x_i$的正方向可以选取两个方向中的任意一个；
• 当Joint $i$是prismatic时，仅指定axis $z_{i-1}$的方向。

位姿描述

当以上的坐标系被建立以后，Frame $i$相对于Frame $i-1$的位置和取向可以完全由以下四个参数指定：

$a_i$：distance between $O_i$ and $O_i^{{}^{\prime }}$

$d_i$：coordinate of $O_i^{{}^{\prime }}$ along $z_{n-1}$

${\alpha }_i$：angle between axes $z_{i-1}$ and $z_i$ about axis $x_i$ to be taken positive when rotation is made counter-clockwise

${\theta }_i$：angle between axes $x_{i-1}$ and $x_i$ about axis $z_{i-1}$ to be taken positive when rotation is made counter-clockwise.

其中，参数$a_i$和${\alpha }_i$总是恒定的，它们取决于joint之间连接的几何关系；剩下的两个参数中的一个参数也是恒定的，具体是哪个参数取决于joint的类型：

• Joint $i$是revolute，则${\theta }_i$是恒定的；
• Joint $i$是prismatic，则$d_i$是恒定的；

在此情况下，Frame $i$和 Frame $i-1$之间的坐标变换可以依据如下步骤进行。(详细见教材P63)