洛谷 P4513 小白逛公园

题意

对于一条序列支持两种操作，一种是单点修改，另一种是查询某个区间内的最大子段和。

算法分析

单一的最大子段和的复杂度是 $O(n)$ 级别的，但是如果是多次询问下，用原来 $O(n)$ 方法求m次那复杂度 $O(nm)$ 妥妥爆炸。这时可以考虑用线段树来维护某个区间的最大子段和。

具体做法

1. 对于每个树节点，需要有区间和 $w$，区间最大子段和 $v$，以序列左端点和右端点为开头的 $lw$ 和 $rw$。前面两个很好理解，但后面两个为什么一定要以左端点或右端点开头呢？
   其实对于父亲节点而言，从子节点继承时，如果两个子节点（即两段子序列）的最大子段和都没有加上边界的点，其实就算没有加上后面的答案也不一定是 $$ans=\max (a_{左子树}.w,b_{右子树}.w)$$我们需要考虑到两端区间的子序列是可以加在一起的，这时我们可以把刚才求得的 $ans$ 再进行比较大小$$ans=\max (ans,a_{左子树}.rw+b_{右子树}.lw)$$ 表示我可以取左子树以右端点开头的最大子段和加上右子树以左端点为开头的最大子段和，这样就可以做到求出子序列合在一起的最大子段和。
2. 那要怎么求得 $lw$ 和 $rw$ 的值呢？我们只需要在 $pushup$ 函数里稍加修改。
   对于区间和直接加上即可。
   对于 $lw$ 可以考虑取 $\max (a_{左子树}.lw，a_{左子树}.v+b_{右子树}.lw)$，代表要么取左子树以左端点为开头的最大子段和，要么将该 $lw$ 序列直接延长至右子树。同理 $rw$ 可进行同样操作。
   最后再取得 $$w=\max (\max (a_{左子树}.w,b_{右子树}.w),a_{左子树}.rw+b_{右子树}.lw)$$
3. 更新操作跟朴素线段树类似。
4. 查询操作因为不可以直接用 $w$ 去比较大小，我们去要返回一个节点而不是值。
   当某个节点的区间被查询的区间覆盖时，直接返回该节点即可。
   当区间只涉及到该节点的某一个（注意是一个）区间时，直接查询该子节点。
   当涉及两个子节点时，可以重新建一个答案节点，负责存储来自左右子节点返回的子答案节点，然后根据两个子答案节点对答案节点再 $pushup$ 一次即可。最后返回该答案节点。最后输出最上层答案节点的 $w$ 即可。
5. 注意事项：子序列最短为1，所以对于叶子节点需要把它们全部的值都赋值为整条序列该位置的值。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
int a[maxn],n,m;
struct node{
	int l,r;
	int v,w,lw,rw;
}t[maxn<<2];
inline void pushup(int k)
{
	t[k].v=t[k<<1].v+t[k<<1|1].v;
	t[k].lw=max(t[k<<1].v+t[k<<1|1].lw,t[k<<1].lw);
	t[k].rw=max(t[k<<1].rw+t[k<<1|1].v,t[k<<1|1].rw);
	t[k].w=max(max(t[k<<1].w,t[k<<1|1].w),t[k<<1].rw+t[k<<1|1].lw);
}
inline void build(int k,int l,int r)
{
	t[k].l=l,t[k].r=r;
	if(l==r){
		t[k].v=t[k].w=t[k].lw=t[k].rw=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	pushup(k);
}
inline void update(int k,int x,int y)
{
	int l=t[k].l,r=t[k].r;
	if(l==r){
		t[k].v=t[k].w=t[k].lw=t[k].rw=y;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid)update(k<<1,x,y);
	else update(k<<1|1,x,y);
	pushup(k);
}
inline node query(int k,int l,int r)
{
	int x=t[k].l,y=t[k].r;
	if(l<=x&&y<=r)return t[k];
	int mid=x+y>>1;
	if(r<=mid)return query(k<<1,l,r); 
	else if(l>mid)return query(k<<1|1,l,r);
	else{
		node a=query(k<<1,l,r),b=query(k<<1|1,l,r),ans;
		ans.v=a.v+b.v;
		ans.lw=max(a.v+b.lw,a.lw);
		ans.rw=max(b.v+a.rw,b.rw);
		ans.w=max(max(a.w,b.w),a.rw+b.lw);
		return ans;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op,l,r;
		cin>>op>>l>>r;
		if(op==1){
			if(l>r)swap(l,r);
			node ans=query(1,l,r);
			cout<<ans.w<<"\n";
		}
		else{
			update(1,l,r);
		}
	}
	return 0;
}