第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
- 曲边梯形的面积
- 变速直线运动的路程
二、定积分的定义
\quad 定义 \quad 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界，在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 中任意插入若干个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b , a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_{n-1}\lt x_{n}=b, a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b,把区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 分成 n n n 个小区间 [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , ⋯ , [ x n − 1 , x n ] , [x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_{n}], [x0,x1],[x1,x2],⋯,[xn−1,xn],各个小区间的长度依次为 Δ x 1 = x 1 − x 0 , Δ x 2 = x 2 − x 1 , ⋯ , Δ x n = x n − x n − 1 . \Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}. Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1,⋯,Δxn=xn−xn−1.在每个小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi] 上任取一点 ξ i ( x i − 1 ≤ ξ i ≤ x i ) \xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_i) ξi(xi−1≤ξi≤xi)，作函数值 f ( ξ i ) f(\xi_i) f(ξi) 与小区间长度 Δ x i \Delta x_i Δxi 的乘积 f ( ξ i ) Δ x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots,n) f(ξi)Δxi(i=1,2,⋯,n)，并作出和 S = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i . S=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i. S=i=1∑nf(ξi)Δxi.记 λ = max { Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯ , Δ x n } \lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\} λ=max{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}，如果当 λ → 0 \lambda\to 0 λ→0 时，这和的极限总存在，且与闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的分法及点 ξ 1 \xi_1 ξ1 的取法无关，那么称这个极限 I I I 为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的定积分（简称积分），记作 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\text{d}x ∫abf(x)dx，即 ∫ a b f ( x ) d x = I = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i , \int_a^bf(x)\text{d}x=I=\displaystyle\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i, ∫abf(x)dx=I=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi,其中 f ( x ) f(x) f(x) 叫做被积函数， f ( x ) d x f(x)\text{d}x f(x)dx 叫做被积表达式， x x x 叫做积分变量， a a a 叫做积分下限， b b b 叫做积分上限， [ a , b ] [a,b] [a,b] 叫做积分区间.
\quad 定理 1 \quad 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积.
\quad 定理 2 \quad 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积.
三、定积分的近似计算
- 矩形法的矩形公式 ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a n ( y 1 + y 2 + ⋯ + y n ) . \int_a^bf(x)\text{d}x\approx\frac{b-a}{n}(y_1+y_2+\cdots+y_n). ∫abf(x)dx≈nb−a(y1+y2+⋯+yn).
- 梯形法
- 抛物线法（辛普森法）
四、定积分的性质
\quad 性质 1 \quad 设 α \alpha α 与 β \beta β 均为常数，则 ∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\text{d}x=\alpha\int_a^bf(x)\text{d}x+\beta\int_a^bg(x)\text{d}x ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx
\quad 性质 2 \quad 设 a < c < b a\lt c\lt b a<c<b，则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . \int_a^bf(x)\text{d}x=\int_a^cf(x)\text{d}x+\int_c^bf(x)\text{d}x. ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.
\quad 性质 3 \quad 如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 f ( x ) ≡ 1 f(x)\equiv1 f(x)≡1，那么 ∫ a b 1 d x = ∫ a b d x = b − a . \int_a^b1\text{d}x=\int_a^b\text{d}x=b-a. ∫ab1dx=∫abdx=b−a.
\quad 性质4 \quad 如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f(x)≥0，那么 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 ( a < b ) . \int_a^bf(x)\text{d}x\ge0\quad(a\lt b). ∫abf(x)dx≥0(a<b).
\quad 推论 1 \quad 如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x) \le g(x) f(x)≤g(x)，那么 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x . \int_a^bf(x)\text{d}x\le\int_a^bg(x)\text{d}x. ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.
\quad 推论 2 ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ( a < b ) . \quad\left|\displaystyle\int_a^bf(x)\text{d}x\right|\le\displaystyle\int_a^b|f(x)|\text{d}x\quad(a\lt b). ∫abf(x)dx ≤∫ab∣f(x)∣dx(a<b).
\quad 性质 5 \quad 设 M M M 及 m m m 分别是函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上最大值与最小值，则 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) ( a < b ) . m(b-a)\le\int_a^bf(x)\text{d}x\le M(b-a)\quad(a\lt b). m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)(a<b).
\quad 性质 6 (定积分中值定理) \quad 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，那么在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上至少存在一个点 ξ \xi ξ，使下式成立： ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ( a ≤ ξ ≤ b ) . \int_a^bf(x)\text{d}x=f(\xi)(b-a)\quad(a\le\xi\le b). ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b).
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