第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则

第五节 极限运算法则

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定理1 两个无穷小的和是无穷小.

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定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.

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定理3 如果 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$,那么
(1) $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$;
(2) $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$;
(3) 若又有 $B\ne 0$,则$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}.$$推论1 如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数，那么$$\lim [cf(x)]=c\lim f(x).$$推论2 如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $n$ 是正整数，那么$$\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$$

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定理4 设有数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 和 { y n } \{y_n\} {yn​}.如果$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B,$$那么

$(1)\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\pm y_n)=A\pm B;$

$(2)\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\cdot y_n)=A\cdot B;$

$(3)$ 当 $y_n\ne 0(n=1,2,\cdots )$ 且 $B\ne 0$ 时，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$.

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定理5 如果 $\phi (x)\ge \psi (x)$,而 $\lim \phi (x)=A,\lim \psi (x)=B$,那么 $A\ge B.$

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定理6(复合函数的极限运算法则)——设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成，$f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$, 且存在 ${\delta }_0>0,$ 当 $x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$ 时，有 $g(x)\ne u_0,$ 则$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A.$$

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习题 1-5