weixin_42794212的博客

即使我们关心的是在 2-范数下的收敛性，证明序列在 1-范数下收敛可能会更快捷，而一旦证明了这一点，按照上述推论，收敛性在 2-范数下自然也会成立。类似地，可以证明 1-范数和 2-范数之间的关系，以及 1-范数和无穷范数之间的关系。现在我们已经定义了衡量向量之间距离的方法，接下来我们可以讨论收敛性。如果我们想指出收敛是相对于哪种特定的范数进行的，我们有时会写作。分别表示相对于 1-范数、无穷范数和 2-范数的收敛性。，所以我们也能得到在 1-范数下的收敛性。，那么它也在 2-范数下收敛到。

，数值积分的近似值是负的，这对一个严格为正的函数来说显然是不合理的。原因是某些求积规则中的权重是负数。正如这个例子所示，增加插值多项式的度数并不总是一个有效的选择，因此我们必须考虑其他方法来提高数值积分的精度。特别地，我们可以得出结论：对于多项式的度数不超过一的情况，梯形规则的误差为零（因为对于一阶多项式，对于多项式的度数不超过三的情况，辛普森规则的误差为零（因为对于三阶多项式，这就引发了一个问题：增加插值多项式的度数是否一定能减小积分的误差呢？是辛普森规则的绝对误差，是梯形规则的绝对误差，

在数值分析中，许多问题可以用线性代数来表述。例如，偏微分方程的离散化会导致涉及大型线性方程组的问题。线性代数中的基本问题是求解线性方程组Axb4.1其中A​a11​⋮am1​​⋯⋱⋯​a1n​⋮amn​​​是一个m×n的矩阵，矩阵的元素是实数，且x​x1​⋮xn​​​b​b1​⋮bm​​​是向量。我们通常处理的是mn（即A是一个方阵）的情况。

梯形法则:112b−aM2121​b−aM2​复合梯形法则:112h2b−aM2121​h2b−aM2​辛普森法则:12880b−aM428801​b−aM4​复合辛普森法则:1180h4b−aM41801​h4b−aM4​请注意，我们在辛普森法则的误差界限中使用的是b−ab - ab−a，而不是hb−a2h2b−a​。

序列xnx_nxn​(对于n≥0n \geq 0n≥0) 若以一阶收敛（或线性收敛）收敛到α\alphaα∣xn1−α∣≤k∣xn−α∣for some0k1.∣xn1​−α∣≤k∣xn​−α∣for some0k1.如果序列以阶数r≥2r \geq 2r≥2∣xn1−α∣≤k∣xn−α∣rfor somek0.∣xn1​−α∣≤。

处几乎水平，这会使得迭代值远离解。另一个问题是，当迭代在两个值之间振荡时，方法无法收敛，例如下面的例子所示。然而，牛顿法并非没有问题。我们可以很容易地找到一些初始点，使得该方法无法收敛。我们可以看到，在仅仅四次迭代之后，牛顿法就比二分法提供了一个更好的近似解。，即新旧迭代值的差小于预定义的容忍度（TOL），则停止迭代。牛顿法的基本思想是通过函数在某一点。，我们需要找到该点的切线的根。小于给定的容忍度，我们停止并声明。依赖于具体的情况，前提是我们从。是可微的，并且我们能够计算出。在每一步中，从当前的。

这个积分无法用闭式形式表示。即使在某些情况下原函数可以被计算出来，从数值计算的角度来看，直接计算原函数可能并不是最佳选择。因此，问题的核心是如何尽可能精确地通过数值方法近似这些积分。梯形法则通过由函数图形所定义的梯形的面积来近似积分，积分被解释为曲线下方的面积。利用插值误差，我们可以推导出梯形法则的积分误差。梯形法则可以被解释为在。如果可能的话，可以通过计算原函数。梯形法则是一个求积法则的例子。的函数）来求得积分值，即。根据积分中值定理，存在某个。我们关注的问题是计算积分。使用梯形法则，我们得到。

并用这个“巧妙的 1”进行除法运算，即可得到公式 (2.9)。最后，可以证明在诸如切比雪夫点这样的点上，计算重心拉格朗日插值的数值是稳定的。此外，添加新的插值点需要重新计算拉格朗日基多项式。这两个问题都可以通过重写拉格朗日插值公式来解决。一旦权重计算完成，求值只需要。一方面，它的计算需要。次操作，并且更新新权重也只需要。为了推导这个公式，定义。），拉格朗日插值多项式可以写成。拉格朗日插值多项式的表示形式。

我们有一个插值误差的界限。是否可以通过增加更多的插值点或修改这些点的分布来使误差更小？这个问题的答案可能取决于两个因素：所考虑的函数类以及点的分布方式。计算此例的插值误差，结果与之前的例子完全不同。事实上，绘制误差图并将其与等距点的情况进行比较，可以发现，巧妙地选择插值点可以带来巨大的好处。令人惊讶的是，答案是否定的，正如以下著名的例子——龙格现象（Runge Phenomenon）所示。然而，当我们在不同的等距点上对逐渐增大的。问题并非源于插值方法本身，而是与点的分布方式有关。次拉格朗日插值多项式。

一种便捷的表示方式为pxa0​a1​x−x0​⋯an​x−x0​x−xn−1​2.5如果已知系数a0​an​，那么仅需n，可以使用进行高效计算。此外，这种形式的一个优势是，：如果新增一个插值点xn1​，则原有的系数a0​an​。设插值点为x0​−1x1​0x2​1x3​2。那么三次多项式p3​xx3可以按照形式 (2.5) 重新表示为p3​x−1x1x。

现在，我们已经证明了函数的插值多项式的存在性和唯一性，接下来我们希望了解它对原函数的逼近程度。尽管在实际计算中我们无法准确找到这个位置，但情况并不算太糟，因为有时我们可以在区间。，那么拉格朗日插值多项式可能与原始函数看起来非常不同。没有任何额外的假设，这个误差可能是任意的。因此，我们将限制讨论足够平滑的函数。为了证明定理 2.3，我们需要以下罗尔定理的推论。，但它可能有不同的表示形式。中保证一定的精度，插值点的间距必须足够小。处的拉格朗日插值多项式。，存在介于两者之间的某个点使得。那么，我们应选择多大的。

给定。

1.2 准确性在19世纪初，C.F. 高斯，历史上最具影响力的数学家之一以及数值分析的先驱，发展了最小二乘法，以预测最近发现的小行星谷神星的再次出现。他深知数值计算的局限性，正如本讲座开头引用的那句名言所表明的那样。

我们使用的“计算时间”度量是解决问题所需的基本（浮点）算术运算数量（例如加法、减法、乘法、除法），它是输入大小的函数。一个有趣且具有挑战性的领域是代数复杂度理论，它研究执行某些计算任务所需的算术运算的下界。实际上，我们不需要计算一系列的数值，而是在每一步都覆盖一个变量的值。“由于我们从对数表和三角函数表中取出的数值都不能达到绝对精确，而只能在一定程度上近似，因此，利用这些数值进行的所有计算，其结果也只能是近似正确的。在这里，我们不太关注精确的数字，而更关心的是计算量的级别。的多项式，依此类推。