【BZOJ1013/JSOI2008】球形空间产生器sphere-优快云博客

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1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

解析：

一个球体上的所有点到球心的距离相等，因此只需要求出一个点（ $x_{1},x_{2},......,x_{n}$ ），对于每一个点 $i$ 都有：

$\sum _{j=0}^{n} (a_{i,j} - x_{j})^{2} = C$

其中C为常数，可以理解为到球心的距离， $i\in [1,n+1]$ ，球面上第 $i$ 个点的坐标为 $(a_{i,1},a_{i,2}......,a_{i,n})$ 。该方程由 $n+1$ 个 $n$ 元二次方程构成，不是线性方程。但是我们可以同过相邻两个方程做差，把它变成 $n$ 个 $n$ 元一次方程，同时消去常数 $C$ ：

$\sum_{j=1}^{n}(a^2_{i,j}-a^2_{i+1,j}-2x_{j}(a_{i,j}-a_{i+1,j}))=0 (i=1,2,3......,n)$

把变量放在左边，常数放在右边：

$\sum_{j=1}^{n}(a^2_{i,j}-a^2_{i+1,j})=\sum_{j=1}^{n}2(a_{i,j}-a_{i+1,j})x_{j}(i=1,2,......,n)$

这就是一个线性方程组了。题目保证方程组由唯一解，我们直接用高斯消元即可得到每个 $x_{j}$ 的值。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max=11;
int n,m,k;
double f[Max][Max],ans[Max],a[Max][Max];

inline void solve()
{
	int l;double tmp;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	  l=i;
	  for(int j=l+1;j<=n;j++) if(fabs(f[j][i]) > fabs(f[l][i])) l=i;
	  if(l!=i) for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(f[i][j],f[l][j]);
	  for(int j=i+1;j<=n;j++)
	  {
	    tmp=f[j][i]/f[i][i];
	    for(int k=i;k<=n+1;k++) f[j][k]-=tmp*f[i][k];
	  }
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
	  tmp=f[i][n+1];
	  for(int j=i+1;j<=n;j++) tmp-=f[i][j]*ans[j];
	  ans[i]=tmp/f[i][i];
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
	  for(int j=1;j<=n;j++)
	    scanf("%lf",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  for(int j=1;j<=n;j++)
	    f[i][j]=2*(a[i][j]-a[i+1][j]),f[i][n+1]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
	solve();
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3f ",ans[i]);
	return 0;
}