文献阅读【研究生数学建模竞赛B题】：Effective-SNR Mapping for Modeling Frame Error Rates in Multiple-state2 Channels

多状态信道帧错误率建模的有效信噪比映射

摘要

本文献阐述了爱立信公司关于“有效信噪比映射（ESM）”的观点，该映射用于多状态信道的帧错误率（FER）表征。从理论角度给出了优良ESM的需求条件，研究了多种ESM函数，并通过仿真验证了其准确性。研究发现，对于所有Strawman信道模型，基于互信息的映射可将Turbo编码反向业务信道（R-SCH）的帧错误率转换为高斯白噪声（AWGN）信道下的帧错误率，且误差小于0.1dB。针对卷积码，提出了指数型ESM，并通过仿真验证了其有效性：在大范围信噪比变化下，指数型ESM的精度可达±2.0dB。

1 引言

目前，所有反向链路增强提案均基于包含5种不同信道模型的Strawman进行评估。即使在信噪比（SNR）短期平均值（帧信噪比）相同的情况下，不同多普勒速度（3km/h至120km/h）也会导致帧错误率（FER）存在差异。此外，当前提案均包含混合自动重传请求（Hybrid ARQ，H-ARQ）机制。在高多普勒信道中，由于存在多次重传，每帧都会受到多状态信道的影响。

由于系统仿真中可能存在大量信噪比组合，要获取全面的链路仿真结果面临巨大挑战。如何将多状态信道的信噪比映射为帧错误率性能模型，成为获得可靠系统结果的关键。本献文为解决该问题提供了初步方案。

2 等效信噪比映射：理论视角

在理想信道状态信息假设下，多状态信道的“容量”¹可计算为²：
$$\begin{array}{rl}I\left({\gamma }_{eff}\right)& =\int I(\gamma )f_{SNR}(\gamma )d\gamma \\ & =\sum _{i}I\left({\gamma }_i\right)p_i\end{array}$$
其中，$f_{SNR}(\gamma )$ 是连续值信道符号信噪比 $\gamma$ 的概率密度函数（pdf），$p_i$ 是离散值信噪比 ${\gamma }_i$ 的概率质量函数（pmf）。

有效信噪比映射（ESM）的目标是求解：
$$\begin{array}{rl}{\gamma }_{eff}& =I^{-1}\left(\int I(\gamma )f_{SNR}(\gamma )d\gamma \right)\\ & =I^{-1}\left(\sum _{i}I\left({\gamma }_i\right)p_i\right)\end{array}$$

需注意，“信道容量”是信息论中定义明确的术语。在本节中，使用广义术语“信息度量”来表示表征信道容量的函数 $I(\gamma )$。以下列出几种常用的信息度量：

1. 互信息 $I_{MI}$

对于高斯白噪声（AWGN）信道中的二进制相移键控（BPSK）调制，互信息定义为：
$$I_{MI}(\gamma )=E_{XY}\left\{{\log }_2\frac{P(Y|X,\gamma )}{{\sum }_{X}P(X)P(Y|X,\gamma )}\right\}$$
其中，$X$ 为二进制输入，$Y$ 为信道输出。

2. AWGN信道容量 $I_{ACC}$

$$I_{ACC}(\gamma )=\frac{1}{2}{\log }_2(1+\gamma )$$

注1：函数 $I(\gamma )$ 未必是信息论中定义的严格信道容量。
注2：在理论分析中，通常会对“容量”按概率分布取平均值，且容量曲线的形态通常不会发生显著变化。对于瑞利衰落和能量受限信号，其与静态AWGN信道的差异在渐近情况下为2.5dB[2]；对于信噪比动态范围较小的信道，其与AWGN信道容量的差异则更小。

需注意，此处对信道输入的调制格式未作限制。

3. 截止速率 $I_{R0}$

对于BPSK调制，截止速率表示为：
$$I_{R0}(\gamma )=1-{\log }_2\left(1+e^{-\gamma /2}\right)$$

4. 线性信噪比 $I_{lin}$

通常直接将信噪比作为信息度量，即：
$$I_{lin}(\gamma )=\gamma$$

5. 分贝（dB）级信噪比 $I_{log}$

$$I_{log}(\gamma )=\log (\gamma )$$

上述信息度量的特性如图1所示。为便于比较信息度量函数的形态，所有曲线均经过偏移处理，使其在（0dB，0.5）点重合。

（图1：不同信息度量与信噪比的关系
纵轴：信息度量值（范围-0.2_{1.0）；横轴：信噪比（单位：dB，范围-8}10）
曲线标注：互信息（Mutual Information）、截止速率（Cutoff Rate）、AWGN信道容量（AWGN Channel Capacity）、线性ESM（Linear ESM）、对数ESM（Logarithmic ESM）、指数ESM（Exponential ESM））

图1中的6条曲线主要呈现两种特性：凸性（convexity）和S型（sigmoid）。其中，AWGN信道容量、线性信噪比和对数信噪比是 $\gamma$ 的凸函数；互信息和截止速率则呈S型。

给定调制格式后，信道可传输的信息量应遵循S型曲线，而非无界的AWGN信道容量曲线。对于实际信道编码，可能不存在完全精确的“信息度量”；但无论如何，信息度量都应受调制格式和给定带宽的约束。可以预见，当信噪比逐渐升高时，凸函数会高估信道可传输的信息量；尤其在低信噪比场景下，对数型ESM还会低估信息量。

对于给定调制格式的实际信道编码，采用S型曲线建模更为合理。特别是当信道编码性能在固定调制格式下接近信道容量时，互信息能更准确地描述给定信道符号信噪比下的传输信息量。因此，有效信噪比映射的关键在于信息度量的S型特性。

在图1中，除互信息和截止速率外，还定义了一种指数型信息度量 $I_{EXP}(\gamma )$：
$$I_{EXP}(\gamma )=1-\exp (-\gamma )$$

由指数型信息函数可推导出指数型ESM：
$$I_{EXP}($$