视觉笔记 - 视觉坐标系

by luoshi006
参考：张正友
参考：相机成像原理 - 陈建平

视觉坐标系

图像坐标系

像素（pixel）
像素是数字图像中最小的点（单位色块），其值表示图像点的亮度（灰度）。像素的大小是没有固定长度值的，不同设备上1个单位像素色块的大小是不一样的。

数字图像
相机获取的图像在计算机内以 $M\times N$ 数组的形式存储，数组中的元素为像素。

像素坐标系

如图所示，在图像上定义坐标系 $u\text{-}v$，每个像素坐标 $(u,v)$ 分别是该像素在图像中的列数和行数，即，得到以像素为单位的坐标 $(u,v)$。

图像坐标系

也就是 成像平面坐标系，在焦距 $f$ 处的平面。

建立以 SI 单位（米）表示的图像坐标系 $x\text{-}y$，该坐标系以 $o(u_0,v_0)$ 为原点，$x$ 轴、$y$ 轴分别与 $u$ 轴、$v$ 轴平行，$(x,y)$ 表示以物理单位度量的图像坐标。在 $x\text{-}y$ 坐标系中，原点 $o$ 定义为相机光轴和成像平面的交点，一般位于图像中心处，称为图像的主点。

原点 $o(u_0,v_0)$ 在 $u\text{-}v$ 坐标系中的坐标为 $(u_0,v_0)$，每个像素在 $x$ 轴和 $y$ 轴方向上的物理尺寸为 $dx,dy$。

相机坐标系

成像模型是指 3D 点到像平面的投影关系。在小孔成像模型中，3D 点 $P$ 投影到像平面上的像点 $p$，其中，$O_c$ 为相机光心；$X_c、Y_c$ 轴分别与图像坐标系的 $x、y$ 轴平行；$Z_c$ 为相机的光轴，与像平面垂直，相交于点 $o$；$f$ 为相机焦距；相机坐标系记为：$O_c\text{-}{X}_c{Y}_c{Z}_c$。

世界坐标系

相机可安放在场景中的任意位置，所以，在场景中选择一个基准坐标系来描述相机的位姿，以及场景中任何物体的位置（3D 点），该坐标系称为世界坐标系，记为 $O_w\text{-}{X}_w{Y}_w{Z}_w$。

视觉坐标系变换

世界坐标系 与 相机坐标系

相机坐标系和世界坐标系的关系用旋转矩阵 $R$ 与平移向量 $t$ 来描述。

$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]=R\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\end{array}\right]+t$$

$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ \vec{0}& 1\end{array}\right][\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ \end{array}$$