红黑树介绍

大家应该都学过平衡二叉树(AVLTree)，了解到AVL树的性质，其实平衡二叉树最大的作用就是查找,AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。AVL树的效率就是高在这个地方。如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理, 那么创建一颗平衡二叉树的成本其实不小. 这个时候就有人开始思考，并且提出了红黑树的理论，红黑树在业界应用很广泛，比如 Java 中的 TreeMap，JDK 1.8 中的 HashMap、C++ STL 中的 map 均是基于红黑树结构实现的。那么红黑树到底比AVL树好在哪里？

一、红黑树简介

红黑树是一种自平衡的二叉查找树，是一种高效的查找树。它是由 Rudolf Bayer 于1978年发明，在当时被称为平衡二叉 B 树(symmetric binary B-trees)。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的红黑树。红黑树具有良好的效率，它可在 O(logN) 时间内完成查找、增加、删除等操作。

二、为什么需要红黑树？

对于二叉搜索树，如果插入的数据是随机的，那么它就是接近平衡的二叉树，平衡的二叉树，它的操作效率（查询，插入，删除）效率较高，时间复杂度是O（logN）。但是可能会出现一种极端的情况，那就是插入的数据是有序的（递增或者递减），那么所有的节点都会在根节点的右侧或左侧，此时，二叉搜索树就变为了一个链表，它的操作效率就降低了，时间复杂度为O(N)，所以可以认为二叉搜索树的时间复杂度介于O（logN）和O(N)之间，视情况而定。那么为了应对这种极端情况，红黑树就出现了，它是具备了某些特性的二叉搜索树，能解决非平衡树问题，红黑树是一种接近平衡的二叉树（说它是接近平衡因为它并没有像AVL树的平衡因子的概念，它只是靠着满足红黑节点的5条性质来维持一种接近平衡的结构，进而提升整体的性能，并没有严格的卡定某个平衡因子来维持绝对平衡）。

三、红黑树的特性

在讲解红黑树性质之前，先简单了解一下几个概念：
parent：父节点
sibling：兄弟节点
uncle：叔父节点（ parent 的兄弟节点）
grand：祖父节点（ parent 的父节点）
首先，红黑树是一个二叉搜索树，它在每个节点增加了一个存储位记录节点的颜色，可以是RED,也可以是BLACK；通过任意一条从根到叶子简单路径上颜色的约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的二倍，因而近似平衡（最短路径就是全黑节点，最长路径就是一个红节点一个黑节点，当从根节点到叶子节点的路径上黑色节点相同时，最长路径刚好是最短路径的两倍）。它同时满足以下特性：

节点是红色或黑色
根是黑色
叶子节点（外部节点，空节点）都是黑色，这里的叶子节点指的是最底层的空节点（外部节点），下图中的那些null节点才是叶子节点，null节点的父节点在红黑树里不将其看作叶子节点
红色节点的子节点都是黑色
红色节点的父节点都是黑色
从根节点到叶子节点的所有路径上不能有 2 个连续的红色节点
从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点

四、红黑树的效率

4.1 红黑树效率
红黑树的查找，插入和删除操作，时间复杂度都是O(logN)。

查找操作时，它和普通的相对平衡的二叉搜索树的效率相同，都是通过相同的方式来查找的，没有用到红黑树特有的特性。

但如果插入的时候是有序数据，那么红黑树的查询效率就比二叉搜索树要高了，因为此时二叉搜索树不是平衡树，它的时间复杂度O(N)。

插入和删除操作时，由于红黑树的每次操作平均要旋转一次和变换颜色，所以它比普通的二叉搜索树效率要低一点，不过时间复杂度仍然是O(logN)。总之，红黑树的优点就是对有序数据的查询操作不会慢到O(logN)的时间复杂度。

4.2 红黑树和AVL树的比较
AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作
红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）

五、红黑树的等价变换

1.红黑树 和 4阶B树（2-3-4树）具有等价性
2.黑色节点与它的红色子节点融合在一起，形成1个B树节点
3.红黑树的黑色节点个数 与 4阶B树的节点总个数相等
4.在所有的B树节点中，永远是黑色节点是父节点，红色节点是子节点。黑色节点在中间，红色节点在两边。

六、红黑树的操作

红黑树的基本操作和其他树形结构一样，一般都包括查找、插入、删除等操作。前面说到，红黑树是一种自平衡的二叉查找树，既然是二叉查找树的一种，那么查找过程和二叉查找树一样，比较简单，这里不再赘述。相对于查找操作，红黑树的插入和删除操作就要复杂的多。尤其是删除操作，要处理的情况比较多，下面就来分情况讲解。

6.1 旋转操作
在分析插入和删除操作前，先说明一下旋转操作，这个操作在后续操作中都会用得到。旋转操作分为左旋和右旋，左旋是将某个节点旋转为其右孩子的左孩子，而右旋是节点旋转为其左孩子的右孩子。

6.2 插入操作
红黑树的插入过程和二叉查找树插入过程基本类似，不同的地方在于，红黑树插入新节点后，需要进行调整，以满足红黑树的性质。

性质1规定红黑树节点的颜色要么是红色要么是黑色，那么在插入新节点时，这个节点应该是红色还是黑色呢？答案是红色，原因也不难理解。如果插入的节点是黑色，那么这个节点所在路径比其他路径多出一个黑色节点，这个调整起来会比较麻烦（参考红黑树的删除操作，就知道为啥多一个或少一个黑色节点时，调整起来这么麻烦了）。如果插入的节点是红色，此时所有路径上的黑色节点数量不变，仅可能会出现两个连续的红色节点的情况。这种情况下，通过变色和旋转进行调整即可，比之前的简单多了。所以插入的时候将节点设置为红色，可以保证满足性质 1、2、3、5 ，只有性质4不一定满足，需要进行相关调整。如果是添加根节点，则将节点设定为黑色。

6.2.1 插入操作的所有情况
我们在分析红黑树各种插入情况的时候，将其等价转换为B树，这样我们能够更直观的进行分类，首先确定几条性质：

B树中，新元素必定是添加到叶子节点中（最底层的节点）
4阶B树所有节点的元素个数 x 都符合 1 ≤ x ≤ 3

在上一章节红黑树的等价变换中，我们讲到了红黑树转换成B树总共有四种情况，也就是上图中叶子节点这四种情况，那么在我们进行插入操作的时候，会将节点插入到所有的叶子节点中，总共就会有12种情况，其中四种情况满足红黑树的性质，8种情况不满足红黑树性质。

6.2.1.1 满足红黑树性质4

有 4 种情况满足红黑树的性质 4 ：parent 为黑色节点。这四种情况不需要做任何额外的处理。
6.2.1.2 不满足红黑树性质4
有 8 种情况不满足红黑树的性质 4 ：parent 为红色节点（ Double Red ），其中左面4种属于B树节点上溢的情况（一个4阶B树节点中最多存放三个数，这四种情况本来已经有3个了，又插入了1个，变成了4个，超出了4阶B树节点的容量范围，这种情况称为上溢）。这八种情况需要进行额外的处理。

6.2.2 LL和RR插入情况

RR情况：父节点为祖父节点的右节点，插入节点为父节点的右节点

LL情况：父节点为祖父节点的左节点，插入节点为父节点的左节点

这两种情况很明显，插入节点为红色，父节点也为红色，父节点的子节点为红色显然违背了红黑树的性质四，我们需要对这种情况进行修复，使其重新满足红黑树性质。
判定条件：uncle 不是红色节点。
这里的两种情况，他们的插入节点都是没有叔父节点的，所以叔父节点也不可能是红色。

6.2.3 LR和RL插入情况
插入节点染成黑色，grand 染成红色
进行双旋操作
LR：parent 左旋转， grand 右旋转
RL：parent 右旋转， grand 左旋转
6.2.4 上溢的LL插入情况
parent、uncle 染成黑色
grand 向上合并
将向上合并的grand染成红色，相对上一层，就当做是新添加的节点，再次来一遍插入情况的判断，进行处理。
grand 向上合并时，可能继续发生上溢。这种情况就继续递归调用修复方法就可以了。若上溢持续到根节点，只需将根节点染成黑色即可（这个意思就是说断向上上溢，一直上溢到了B树的根节点位置了，只需要将向上合并的节点变成黑色作为红黑树的根节点即可。因为从B树根节点选择出来上溢的节点，肯定就是作为整个红黑树的根节点了）。

6.2.5 上溢的RR插入情况

parent、uncle 染成黑色
grand 向上合并
染成红色（其实染成红色就已经是完成了向上合并，因为祖父节点和祖父节点的父节点的连接指向并没有变），当做是新添加的节点进行处理
6.2.6 上溢的LR插入情况

parent、uncle 染成黑色
grand 向上合并
染成红色，当做是新添加的节点进行处理
6.2.7 上溢的RL插入情况

parent、uncle 染成黑色
grand 向上合并
染成黑色，当做是新添加的节点进行处理
6.2.8 插入情况总结
插入一共有12种情况：

插入节点的父节点是黑色的情况有4种
这种情况仍然会维持红黑树的性质，则不需要进行额外处理。
插入节点的父节点是红色的情况有8种
这种情况不满足红黑树的性质4，需要进行额外的修复处理。
这8种情况中：
叔父节点不是红色的情况有4种
这些情况都是非上溢，需要通过重新染色和旋转来进行修复
叔父节点是红色的情况有4种
这些情况都是上溢的，只需要通过祖父节点上溢合并和染色即可完成修复
6.3 删除操作
相较于插入操作，红黑树的删除操作则要更为复杂一些。B树中，最后真正被删除的元素都在叶子节点中。所以在红黑树中，被删除的节点一定也在最后一层。

6.3.1 删除操作的所有情况
上面我们说删除节点一定都在最后一层，最后一层有红色节点和黑色节点，我们就以删除节点的颜色来区分删除操作的所有情况。
6.3.1.1 删除红色节点

如果删除的节点是红色直接删除，不用作任何调整。因为删除最后一层的红色节点，并没有影响红黑树的任何性质。

6.3.1.2 删除黑色节点
有3种情况：
拥有 2 个红色子节点的黑色节点
不可能被直接删除，因为会找它的子节点替代删除，因此不用考虑这种情况
拥有 1 个红色子节点的黑色节点
黑色叶子节点

6.3.2 删除拥有1个红色子节点的黑色节点
用删除节点的唯一子节点对其进行替代
将替代节点染成黑色
6.3.3 删除黑色叶子节点——删除节点为根节点
一棵红黑树只有一个黑色根节点（也就是唯一的一个叶子节点，整个红黑树只有这一个黑色节点），可直接删除该节点，无需做其他操作。
6.3.4 删除黑色叶子节点——删除节点的兄弟节点为黑色
父节点向下与兄弟节点进行合并
将兄弟染成红色、父节点染成黑色即可修复红黑树性质
如果父节点是黑色，直接将父节点当成被删除的节点处理，来修复父节点的下溢情况
6.3.5 删除黑色叶子节点——删除节点的兄弟节点为红色
兄弟节点染成 BLACK，父节点染成染成 RED，对父节点进行右旋
于是又回到兄弟节点是黑色的情况（侄子节点变为兄弟节点），继续使用兄弟节点为黑色的方法进行修复
七、红黑树的平衡
AVL是靠平衡因子来保持平衡的，比如平衡因子为1，那么左右子树的高度差就不能超过1，是一种强平衡。
对于红黑树而言，为何那5条性质，就能保证红黑树是平衡的？
因为那5条性质，可以保证红黑树等价于4阶B树

B树比较矮，它本身就是平衡的，高度越小越平衡。
红黑树就是能保证这个树高度不会特别高，红黑树的最大高度是 2 ∗ log2(n + 1) ，依然是 O(logn) 级别，因为高度不会很大进而维持一种相对平衡的状态。相比AVL树，红黑树的平衡标准比较宽松：没有一条路径会大于其他路径的2倍。这是是一种弱平衡、黑高度平衡（黑高度只算黑色节点个数，红黑树的任何一条路径的黑色节点数一样，则黑高度都是一样）。

八、红黑树的平均时间复杂度
搜索：O(logn)
添加：O(logn)，O(1) 次的旋转操作
删除：O(logn)，O(1) 次的旋转操作
九、AVL树 vs 红黑树
9.1 AVL树
平衡标准比较严格：每个左右子树的高度差不超过1
最大高度是 1.44 ∗ log2 n + 2 − 1.328（100W个节点，AVL树最大树高28）
搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度，其中添加仅需 O(1) 次旋转调整、删除最多需要 O(logn) 次旋转调整
9.2 红黑树
平衡标准比较宽松：没有一条路径会大于其他路径的2倍
最大高度是 2 ∗ log2(n + 1)（ 100W个节点，红黑树最大树高40）
搜索、添加、删除都是 O(logn) 复杂度，其中添加、删除都仅需 O(1) 次旋转调整
9.3 如何选择
搜索的次数远远大于插入和删除，选择AVL树；搜索、插入、删除次数几乎差不多，选择红黑树
相对于AVL树来说，红黑树牺牲了部分平衡性以换取插入/删除操作时少量的旋转操作，整体来说性能要优于AVL树
红黑树的平均统计性能优于AVL树，实际应用中更多选择使用红黑树
9.4 案例对比
10, 35, 47, 11, 5, 57, 39, 14, 27, 26, 84, 75, 63, 41, 37, 24, 96组成一棵树

9.4.1 二叉搜索树
非常不平衡

9.4.2 AVL树
最平衡

9.4.3 红黑树
相对比较平衡

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/cy973071263/article/details/122543826