循环冗余校验码CRC原理与LFSR循环码编码器原理

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1 产生原理

循环冗余校验码Cyclic Redundancy Check（CRC）

简介：在发送端根据要传送的K位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码（CRC码），附在信息后面组成n=k+r位的码发出去。这种编码也叫（n,k）码。对于一个给定的（n,k）码，存在一个高次幂为r的多项式G(x)，根据多项式G(x)可以生成k位信息的校验码，G(x)叫做这个CRC码的生成多项式, 生成多项式的最高位和最低位必是1。

1.1 CRC可检测的错误？

• 突发长度小于n-k+1的突发错误；
• 大部分突发长度等于n-k+1的突发错误，其中不可检出的占2-(n-k-1)；
• 大部分突发长度大于n-k+1的突发错误，其中不可检出的占2-(n-k)；
• 所有与许用码组 码距 小于dmin-1的错误及所有奇数个错误。

1.2 CRC生成过程？

生成过程：发送信息C(x)左移r位，表示为C(x)×2^{r，C(x)右边空出的r位就是校验码的位置。通过C(x)×2}r模2除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

1.3 接收过程？

接收过程：

1. 计算CRC比较。
2. 收到的二进制序列（信息码+循环码）除以多项式，如果余数为0，则说明传输过程无错误发生。

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2 CRC 的计算

以输入数据0x5a，G(x)=x^8+x^2+x+1计算为例。

2.1 手算

首先了解模2运算：
模2加：0+0=0，0+1=1，1+1=0 -> a(模2加)b = a⊕b
模2减：0-0=0，0-1=1，1-0=1，1-1=0 -> a(模2减)b = a⊕b
模2乘：0×0=0，0×1=0，1×1=1
模2除：0/1=0，1/1=1

根据生成过程：C(x)×2^r模2除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
G(x)对应：0x107