扩展欧几里得算法的理解

• 这次看看数论的内容，之前本来想把这部分交给队员的，不过队员太忙了，还是我来看吧。。。
• 先回顾一下欧几里得算法和扩展欧几里得算法吧

欧几里得算法

核心内容

1. gcd(a,b) = gcd(b,a % b)
2. gcd(a,b) = gcd(b,a)
3. a % 0 = a

简单证明

$$a=b\ast c+r,r=a\%b$$
设 $d$ 是 $a$，$b$最大公约数，则$d$也是$a-b\times c=r$的约数，所以d也是b和r的公约数。
接下来说明$d$是$b$和$r$的最大公约数，假设存在$d^{\prime }>d$，且$d^{\prime }$也是$b$和$r$的公约数，则$d^{\prime }$ 也是 $r+b\times c=a$的约数，那么$d^{\prime }$也就是$a$，$b$的公约数，这与$d$是$a$，$b$最大公约数矛盾，得证。

实现

int gcd(int a,int b){
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b,a%b);
} 

扩展欧几里得算法

注：这里只讨论一些对算法的理解，先不考虑活用

核心内容

1. 对于非负整数且不全为0的整数a和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a , b)成立。
2. 若ax + by = c，且 c不能整除gcd(a , b)，那么该方程x和y不存在整数解

简单证明和推导

1. 核心内容的证明还没有深入研究，这里先放一放，和比赛相关性较小，以后有机会再看。
2. 算法的推导：

• ax + by = gcd(a, b)
• 根据欧几里得算法有：
  bx’ + (a % b)y’ = gcd(b, a % b) = gcd(a, b)
• 有a % b = a - (a / b) * b //注意这里除是整数除，即下取整
• 所以有 bx’ + (a - (a / b) * b)y’ = gcd(a,b)
• 整理得 ay’ + b(x’ - a/b * y’) = gcd(a , b)
• 因此有x = y’ 且 有y = x’ - a/b * y’
• 另一方面，当b = 0时， x = 1且y = 0

3. 根据以上推导，就不难写出一套递归的算法了

实现

int extgcd(int a,int b,int& x,int& y){
	if (b != 0){
		int ret = extgcd(b,a%b,y,x);
		//y计算之前 = x', x = y' 
		y -= a / b * x; 
		return ret;
	}
	else{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
}