欧几里德算法的个人理解

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
定理：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用java语言描述为：
写法一：

int gcd(int m,int n){
   if(n == 0){
        return m; 
    }
    int r = m%n;
    return gcd(n,r);
}

写法二：

int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

个人理解

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的：
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
至此，最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

	int gcd(int a, int b) {
		if (0 == a) {
			return b;
		}
		if (0 == b) {
			return a;
		}
		if (a > b) {
			int c = a;
			a = b;
			b = c;
		}
		int c;
		for (c = a % b; c > 0; c = a % b) {
			a = b;
			b = c;
		}
		return b;
	}