关于扩展欧几里德算法的理解

总结了几篇文章的精华部分。

http://wenku.baidu.com/view/7c307f563c1ec5da50e2703f.html

http://wenku.baidu.com/view/6e8f01906bec0975f465e2d6.html

扩展欧几里德定理：

对于不完全为0的非负整数a,b,gcd(a,b)表示a,b的最大公约数。

必然存在x,y使得ax+by=gcd(a,b).

void ext_gcd(int a,int b)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    else
    {
        ext_gcd(b,a%b);
        int t=y;
        y=x-a/b*y;
        x=t;

    }
}

这里假设a>b.

1.当b为0时：

gcd(a,b)=a.(根据欧几里德算法易得以上结论)。x=1,y=0是方程的解。

2.当b不为0时：

假设a*x1+b*y1=gcd(a,b)，b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)成立。 

根据朴素欧几里德原理有gcd(a,b)=gcd(b,a%b);(上面代码的递归过程) 

则:a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2; 即:a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2=a*y2+b*x2-(a/b)*by2;   

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;    

这样我们就得到了求解x1,y1的方法：x1,y1的值利用下一层递归计算出的x2,y2得到。

而因为gcd不断的递归求解一定会有个时候使得b=0，这样在回溯的时候根据  x1=y2,   y1= x2 –(a/b)*y2 不断修改x，y。直到回溯结束，求的正确的解。 这个时候求得的只是a*x+b*y=gcd(a,b)的解。只要把x,y都乘上m/gcd(a,b),就是a*x+b*y=m的解了.