一、二维差分与前缀和与例题汇总

最新推荐文章于 2025-11-15 08:33:49 发布

原创

最新推荐文章于 2025-11-15 08:33:49 发布 · 1.7k 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

二维差分一维多一个维度，会出现重叠的问题。
普通算法需要O(n²)的时间复杂度而使用差分与二维前缀和相结合只需O (1)的
时间复杂度根据前缀和的特性，在(x1,y1)-(x2,y2)区域内，差分影响的是整个黄色区域，多影响两个蓝色部分。绿色区域是两个蓝色区域重叠的部分，所以要加上与一块蓝色区域操作的反操作（即补上）。
若使左上(x1,y1)到右下(x2,y2)区域内所有元素加上p
dif[x1][y1] += p,dif[x1][y2 + 1] -= p,dif[x2][y1 + 1] -= p,dif[x2 + 1][y2 + 1] += p
反之使左上(x1,y1)到右下(x2,y2)区域内所有元素减上p
dif[x1][y1] -= p,dif[x1][y2 + 1] += p,dif[x2][y1 + 1] += p,dif[x2 + 1][y2 + 1] -= p

	定义式	递推式
一维前缀和
二位前缀和

预处理

预处理

求值处理

根据定义的矩阵前缀和，任意一点代表dp[i][j]（1，1）到（i，j）左上角和右下角所组成矩阵的和
二维前缀和就包含两个步骤，一是预处理，先使得矩阵的每个点都符合定义的状态，二是求值处理，求任意两点坐标所围成矩阵的和。其中预处理，当前dp[i][j]为map[i][j]元素加上dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]再减去重复绿色区域，如此循环。求值处理，在已经做完预处理的前提下，求任两点所围成矩形包括的各点之和。如上图的紫色区域，因为我们定义的状态是包括边的，所以紫色区域=整块黄色区域-蓝色区域+多减去的绿色区域。
即所求的为dp[x2][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1]
预处理

for(int i = 1;i <= n; i++)//预处理一波 
    for(int j = 1;j <= m; j++)
	    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] +map[i][j];

int x1, x2, y1, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << (dp[x2][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1])<< endl;//O（1）查询

~~刚学完肯定要做几道例题~~（嚣张）看看

经典二维前缀和题目
以下是AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef

3 条评论