二维前缀和与差分
暴力做法的优化
O(n2)O(n^2)O(n2)->O(1)O(1)O(1)
二维前缀和
应用场景:多次在矩形内求和
sum[i][j]矩形区域 (1,1)(1,1)(1,1)为左上角,(i,j)(i,j)(i,j)为右下角,对应区域元素总和
暴力:O(n2)O(n^2)O(n2)
TTT次询问,复杂度O(T∗n2)O(T*n^2)O(T∗n2)
1.预处理前缀和数组
思想:图形的拼接与剪裁(容斥)
sum[i-1][j]
+sum[i][j-1]
-sum[i-1][j-1]+``a[i][j]
;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cin>>a[i][j];
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
}
}
时间复杂度O(n∗m)O(n*m)O(n∗m)
2.矩形区域内求和O(1)O(1)O(1)
int T;
cin>>T;
while(T--){
int xa,ya,yb,xb;
cin>>xa>>ya>>xb>>yb;
int ans=sum[xb][yb]-sum[xb][ya-1]-sum[xa-1][yb]+sum[xa-1][ya-1];
cout<<ans<<'\n';
}
例题:二维前缀和
#include<iostream>
#define N 1005
using namespace std;
int a[N][N],sum[N][N];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,m,T;
cin>>n>>m>>T;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j],sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
while(T--){
int xa,ya,yb,xb;
cin>>xa>>ya>>xb>>yb;
int ans=sum[xb][yb]-sum[xb][ya-1]-sum[xa-1][yb]+sum[xa-1][ya-1];
cout<<ans<<'\n';
}
return 0;
}
例题:矩形
#include<iostream>
using namespace std;
int a[105][105],sum[105][105]
int Sum(int xa,int ya,int xb,int yb){
return sum[xb][yb]-sum[xb][ya-1]-sum[xa-1][yb]+sum[xa-1][ya-1];
}
int main(){
int n,x,y;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>x>>y;
a[x][y]=1;
}
for(int i=1;i<=100;i++){
for(int j=1;j<=100;i++){
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
}
}
for(int xa=1;xa<=100;xa++){
for(int ya=1;ya<=100;ya++){
for(int xb=xa+1;xb<=100;xb++){
for(int yb=ya+1;yb<=100;yb++){
maxn=max(maxn,Sum(xa,ya,xb,yb)-Sum(xa+1,ya+1,xb-1,yb-1));
}
}
}
}
return 0;
}
差分
二维差分
如果扩展到二维,我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上ccc,是否也可以达到$O(1)的时间复杂度。答案是可以的,考虑二维差分。
aaa数组是bbb数组的前缀和数组,那么bbb是aaa差分数组
原数组: a[i][j]a[i][j]a[i][j]
我们去构造差分数组: b[i][j]b[i][j]b[i][j]
使得aaa数组中a[i][j]a[i][j]a[i][j]是bbb数组左上角(1,1)(1,1)(1,1)到右下角(i,j)(i,j)(i,j)所包围矩形元素的和。
如何构造bbb数组呢?
我们去逆向思考。
同一维差分,我们构造二维差分数组目的是为了 让原二维数组a中所选中子矩阵中的每一个元素加上c的操作,可以由O(n∗m)O(n*m)O(n∗m)的时间复杂度优化成O(1)O(1)O(1)
已知原数组aaa中被选中的子矩阵为 以(x1,y1)(x1,y1)(x1,y1)为左上角,以(x2,y2)(x2,y2)(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域;
始终要记得,aaa数组是bbb数组的前缀和数组,比如对bbb数组的b[i][j]b[i][j]b[i][j]的修改,会影响到a数组中从a[i][j]a[i][j]a[i][j]及往后的每一个数。
假定我们已经构造好了bbb数组,类比一维差分,我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上ccc
b[x1][y1] + = c;
b[x1,][y2+1] - = c;
b[x2+1][y1] - = c;
b[x2+1][y2+1] + = c;
每次对b数组执行以上操作,等价于:
for(int i=x1;i<=x2;i++) for(int j=y1;j<=y2;j++) a[i][j]+=c;
我们画个图去理解一下这个过程:
b[x1][y1]+=c;b[x1][y1] +=c;b[x1][y1]+=c; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1][y2+1]−=c;b[x1][y2+1]-=c;b[x1][y2+1]−=c; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]−=c;b[x2+1][y1]- =c;b[x2+1][y1]−=c;对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c,使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c;b[x2+1][y2+1]+=c;b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c,红色内的相当于被减了两次,再加上一次ccc,才能使其恢复。
我们将上述操作封装成一个插入函数:
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
//对b数组执行插入操作,等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
b[x1][y1]+=c,b[x2+1][y1]-=c,b[x1][y2+1]-=c,b[x2+1][y2+1]+=c;
}
我们可以先假想a数组为空,那么b数组一开始也为空,但是实际上aaa数组并不为空,因此我们每次让cha[i][j]=a[i][j]−a[i][j−1]−a[i−1][j]+a[i−1][j−1];cha[i][j]=a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1];cha[i][j]=a[i][j]−a[i][j−1]−a[i−1][j]+a[i−1][j−1];这样就可以构成差分数组
差分模板
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
const int N=1005;
int a[N][N],cha[N][N];
int main(){
// freopen("test.in","r",stdin);
// freopen("test.out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>a[i][j];
cha[i][j]=a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1];
}
}
int q;
cin>>q;
while(q--){
int xa,ya,xb,yb,x;
cin>>xa>>ya>>xb>>yb>>x;
cha[xa][ya]+=x;
cha[xb+1][ya]-=x;
cha[xa][yb+1]-=x;
cha[xb+1][yb+1]+=x;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cha[i][j]+=cha[i-1][j]+cha[i][j-1]-cha[i-1][j-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
cout<<cha[i][j]<<' ';
}
cout<<'\n';
}
return 0;
}
例题:地毯
思路:直接模拟即可
暴力:
#include<iostream>
using namespace std;
int t[1005][1005];
int main()
{
int n, m, x1, x2, y1, y2;
cin >> n >> m;
for (int k = 1; k <= m; ++k)
{
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
for (int i = x1; i <= x2; ++i)
for (int j = y1; j <= y2; ++j)
++t[i][j];
}//暴力模拟
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= n; ++j)
cout << t[i][j] << ' ';
cout << endl;
}
}
差分优化:
#include<set>
#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1005;
int a[N][N],b[N][N];
int main(){
int n,m;cin>>n>>m;
int xa,ya,xb,yb;
for(int i=1;i<=m;i++)
cin>>xa>>ya>>xb>>yb,b[xa][ya]++,b[xb+1][ya]--,b[xa][yb+1]--,b[xb+1][yb+1]++;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1]+b[i][j],cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<'\n';
}
return 0;
}