二维前缀和和差分算法讲解

1. 二维前缀和

一维前缀和的回顾

在一维前缀和中，我们用一个数组pre来存储数组arr的前缀和，pre[i]表示从arr[0]到arr[i]的累加和。通过前缀和，我们可以在常数时间内求出任意区间[l, r]的和，计算公式为： 区间和=pre[r]−pre[l−1]

二维前缀和的类比

在二维前缀和中，我们处理的是一个矩阵（二维数组）。假设有一个矩阵mat，我们用一个二维数组pre来存储二维前缀和。pre[i][j]表示从矩阵的左上角(0,0)到(i,j)这个矩形区域内的所有元素的累加和。

二维前缀和的计算公式

假设矩阵mat的大小为m×n，二维前缀和pre的计算公式如下： pre[i][j]=mat[i][j]+pre[i−1][j]+pre[i][j−1]−pre[i−1][j−1]

解释：

• mat[i][j]是当前元素。

• pre[i - 1][j]是当前行左边的累加和。

• pre[i][j - 1]是当前列上边的累加和。

• pre[i - 1][j - 1]是左上角重复计算的部分，需要减去。

类比理解： 想象一个棋盘，mat[i][j]是一个棋子的价值，pre[i][j]是从棋盘左上角到(i,j)这个矩形区域内的所有棋子的总价值。我们通过累加左边和上边的总价值，再减去重复计算的左上角部分，得到当前矩形的总价值。

二维前缀和的应用

假设我们要计算矩阵中从(x1, y1)到(x2, y2)的子矩阵的和，可以直接通过前缀和数组快速求解： 子矩阵和=pre[x2