一维差分,二维差分(详解+例题)

本文详细介绍了如何使用一维和二维差分数组进行区间和的快速修改,包括差分数组的构造、操作原理、核心代码示例以及实际问题的应用,如ACwing编程题目的解决方法。

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一、一维差分

1.1、解释:

        设数列an,记an为数列bn的前n项和

        原数组:a[1],a[2],a[3],a[4]..................a[n];

   构造一个数组b:b[1],b[2],b[3],b[4].................b[i];

使得a[i] = b[1] + b[2] + b[3] + ........ + b[i];

也就是说,a数组是b数组的前缀和数组,反过来我们把b数组,叫做a数组的差分数组。换句话说,每一个a[i]都是b数组中从头开始的区间和。

1.2、样例:


a[0] = 0
b[1] = a[1];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] = a[3] - a[2];
...           .....
b[i] = a[i] - a[i-1];

1.3、作用: 

  • 让一个序列中某个区间内的所有值均加上或减去一个常数C。

  • 可以将对a数组任意区间的同一操作从O(n)优化到O(1)。

我们只需要让差分数组b中,区间[l,r]中的所有值都加上常数C,
b[l] += c;
b[r+1] -= c;

解析:

a[l] = b[1]+b[2]+...+b[l-1]+b[l]; 

......                                 .......;

a[r] =  b[1]+b[2]+...b[l]+...+b[r]; 

a[r+1] = b[1]+b[2]+...b[l]+...+b[r]+b[r+1];

我们只向让[l,r]之间的和加C不想让后面r+1之后的也加C,所以我们让b[r+1] -= c;

1.4、核心代码:

  •   对a数组区间[l,r]同时加上c的操作可转化为:
  • void insert(int l, int r, int c)
    {
        b[l] += c;
        b[r+1] -= c;
    }
    //求前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        b[i] += b[i-1];
        printf("%d ",b[i]);
    }

    1.5、例题:此题来源于Acwing

AC代码如下:

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N],b[N];
int n,m;

//构造差分数组
void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l] = b[l] + c;
    b[r+1] = b[r+1] - c;
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d ", &a[i]);;
    //默认b数组是0,开始构造差分数组
    /*举个例子:
    例如:样例中的a数组 1 2 2 1 2 1
    1,1,a[1]传入,b[1] = b[1] + a[1];
    b[2] = b[2] - a[1];
    这是一次传入,第二次:b[2] = b[2] + a[2] ---->这里b[2] = -a[1] ---->正好满足差分概念
    b[3] = b[3] - a[2]
    */
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(i,i,a[i]);
    
    while (m -- )
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d %d %d ",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        //复原 原数组,求前缀和
        b[i] = b[i] + b[i-1];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);
    return 0;
}

 题目样例解析:

  • 样例:

    比如 : 1 2 2 1 2 1(原数组) 下标从1开始

    1 1 0 -1 1 -1(差分数组)构造之后的

  • 我们通过上面两种方法进行构造,第二种方法,我们可以这么理解,假定a数组和b数组最开始为0,对于每一个a数组

    和b数组最开始为0,对于每一个a[i] 相当于插入一个数,进行计算,具体例子代码注释上有。


二、二维差分 

 1.1、图解:

如图上图,我们想要求小的黑色方块+c后的结果,首先,根据公式b[x1] [y1] += c ,改变的从 (x1,y1)这个点到右下角的所有值都加C

我们想要是只让小黑方块里加C即可,其他位置不变,那么我们就需要类比一维差分让画虚线的部分减c,下面是黑阴影面积,右面是紫色阴影面积,所以我们要让(紫色阴影面积部分)b [x1] [y2+1] += c, 和 (黑色阴影面积)b [x2+1] [y1] += c, 然后我们可以发现重叠的部分多加了一次C,所以我们再让重叠部分减去C即可,(重叠部分)b [x2+1] [y2+1] += c,用来抵消,这样正好其他的地方都不会发生变化。

由此,我们可以推出公式:

    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;

1.2、例题:此题来源于ACwing

AC代码如下: 

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int b[N][N],a[N][N];

//构造差分数组
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}

int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d %d %d", &n, &m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    //假定a数组和b数组都是0,去构造差分数组b
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    
    while (q -- )
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d %d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    //求加完之后的原数组(前缀和方法 )
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1] + b[i][j];
        }
    }
    //输出
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

关于构造b数组代码解释:

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }

 我们可以先设想a数组为空,那么b数组一开始也为空,但实际上数组a并不为空,因为我们每一次让b数组以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方块面积)插入c=a[i][j]。


以上综合大佬博客和个人理解所整理,如果有错的地方,欢迎指出~

二维差分是一种常用的数据结构和算法巧,用于高效地处理二维矩阵区间的更新和查询操作。它可以在O(1)的时间复杂度内完成区间的更新和查询操作,相比传统的暴力遍历方法,具有更高的效率。 二维差分的基本思想是将原始矩阵转化为一个差分矩阵,差分矩阵中的每个元素表示原始矩阵中相邻元素之间的差值。通过对差分矩阵进行预处理,可以实现对原始矩阵区间的更新和查询操作。 具体来说,二维差分的操作包括两个步骤:预处理和操作。预处理阶段,需要根据原始矩阵构建差分矩阵;操作阶段,可以通过对差分矩阵的更新来实现对原始矩阵区间的更新,同时可以通过对差分矩阵的求和来实现对原始矩阵区间的查询。 下面是二维差分的基本操作: 1. 构建差分矩阵:对于原始矩阵A,构建一个差分矩阵B,其中B[i][j] = A[i][j] - A[i-1][j] - A[i][j-1] + A[i-1][j-1]。 2. 区间更新:对于原始矩阵A的一个区间[left, right] x [top, bottom],将差分矩阵B的相应位置进行更新,即B[left][top] += val,B[right+1][top] -= val,B[left][bottom+1] -= val,B[right+1][bottom+1] += val。 3. 区间查询:对于原始矩阵A的一个区间[left, right] x [top, bottom],通过求和差分矩阵B的相应位置得到区间和,即sum = B[right][bottom] - B[left-1][bottom] - B[right][top-1] + B[left-1][top-1]。 二维差分可以广泛应用于各种算法问题,例如矩阵区间求和、矩阵区间更新等。它的时间复杂度较低,适用于处理大规模的数据。
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