【进阶指南】最短Hamilton路径【状压DP】

这篇博客介绍了一种使用动态规划求解从0到n-1的最短Hamilton路径的方法。通过状态压缩表示路径,枚举路径状态并讨论终点,更新最短路径的动态规划方程。最后给出了问题的解决方案和代码实现。

Date:2022.04.07
题意描述:
给定一张 n 个点的带权无向图,点从 0∼n−1 标号,求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。
Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数 n。
接下来 n 行每行 n 个整数,其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离(记为 a[i,j])。
对于任意的 x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。
输出格式
输出一个整数,表示最短 Hamilton 路径的长度。
数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10^7
输入样例:
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例:
18

思路:举个例子,0->1->2->3->4、0->3>->1->2->4效果是否是一样的?显然是的。但是显然权值是不同的,那我们要求最短路径,显然要走最短的。
因此我们只需要关注:①起点(固定了为0)②终点③中途点是哪些(状态压缩所有点,例:110011表示过了0、1、4、5号点的路径)。
由此,f[i][j]:f[i][j]:f[i][j]:000号点开始走,走过的路径点为iii(注意状态iii也包括000和目标点jjj),且最终到达点jjj的最短哈密顿路径。哈密顿路径的性质是每个点不能被走两次,也就是“一笔画”,因此我们的终点若是jjj,则到达jjj之前的中途路径0−>...−>k0->...->k0>...>

### Hamilton 路径算法与图论分析 Hamilton 路径问题在图论中是一个经典问题,其目标是在一个加权图中找到一条从起点到终点的路径,该路径恰好经过每个顶点一次,并且路径的总权重小。该问题属于 NP-Hard 问题,因此对于大规模图,通常需要使用动态规划等优化策略来求解。 #### 动态规划方法 Hamilton 路径可以通过动态规划来高效求解。缩的核心思想是使用二进制数来表示已经访问过的顶点集合,从而减少态存储的空间和计算复杂度。 定义态 `dp[i][j]` 表示当前处于顶点 `j`,并且已经访问过的顶点集合由二进制数 `i` 表示时的路径长度。初始态为 `dp[1][0] = 0`,表示从起点 `0` 出发,仅访问了自己。 态转移方程为: ```python dp[i][j] = min(dp[i ^ (1 << j)][k] + weight[k][j]) for all k in i if k != j ``` 其中: - `i` 是一个二进制数,表示已访问的顶点集合。 - `j` 是当前所在的顶点。 - `weight[k][j]` 是顶点 `k` 到顶点 `j` 的边权值。 - `i ^ (1 << j)` 表示从集合 `i` 中移除顶点 `j`。 终答案是 `min(dp[(1 << n) - 1][j] + weight[j][n-1])`,其中 `n` 是图中顶点的数量,`j` 遍历所有可能的中间顶点。 #### 图论中的应用 在图论中, Hamilton 路径问题与旅行商问题(TSP)密切相关,但不同之处在于 TSP 要求路径形成一个回路,而 Hamilton 路径只需要从起点到终点。该问题在实际应用中广泛存在,例如电路设计、物流路径规划等领域。 #### 示例代码 以下是一个实现 Hamilton 路径的 Python 示例代码: ```python n = int(input()) weight = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)] # 初始化动态规划dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)] dp[1][0] = 0 # 起点为顶点0 # 态转移 for i in range(1 << n): for j in range(n): if (i >> j) & 1: for k in range(n): if (i ^ (1 << j)) >> k & 1: dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i ^ (1 << j)][k] + weight[k][j]) # 终结果 print(dp[(1 << n) - 1][n-1]) ```
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