洛谷P2760 科技庄园【DP(类似LCS)】【绿】

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#动态规划 #算法 #c++

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这篇博客探讨了一个关于在有限时间内最大化采摘桃子的问题。PFT需要在指定的田地中找到一条路径，使得在体力和时间限制下，能够采摘到最多的桃子。输入包括田地的尺寸、时间限制和PFT的体力，输出是最大可能采摘的桃子数量。该问题可以通过动态规划来解决，计算每个位置的最大收益。代码示例展示了如何实现这个算法。

Date：2022.03.17
题目背景
Life种了一块田，里面种了有一些桃树。
Life对PFT说：“我给你一定的时间去摘桃，你必须在规定的时间之内回到我面前，否则你摘的桃都要归我吃！”
PFT思考了一会，最终答应了！
由于PFT的数学不好！它并不知道怎样才能在规定的时间获得最大的价值，
由于PFT不是机器人，所以他的体力并不是无限的，他不想摘很多的桃以至体力为0，而白白把桃给Life。同时PFT每次只能摘一棵桃树，，每棵桃树都可以摘K次（对于同一棵桃每次摘的桃数相同）。每次摘完后都要返回出发点（PFT一次拿不了很多）即Life的所在地（0，0）{试验田左上角的桃坐标是（1，1）}。
PFT每秒只能移动一个单位，每移动一个单位耗费体力1(摘取不花费时间和体力,但只限上下左右移动)。
输入格式
第一行：四个数为N，M，TI，A 分别表示试验田的长和宽，Life给PFT的时间，和PFT的体力。
下面一个N行M列的矩阵桃田。表示每次每棵桃树上能摘的桃数。
接下来N行M列的矩阵，表示每棵桃最多可以采摘的次数K。
输出格式
一个数：PFT可以获得的最大的桃个数。
输入输出样例
输入 #1复制
4 4 13 20
10 0 0 0
0 0 10 0
0 0 10 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 2 0
0 0 4 0
0 0 0 0
输出 #1复制
10
说明/提示
样例说明：
可以摘到1次（1，1）和1次（2，3），体力和时间不满足再摘桃了。
范围：
对于M，N，TI，A 10<=30%<=50 10<=100%<=100
对于K 10<=100%<=100
保证结果在long int范围内

思路： $f [i] [j] :$ 串1选前 $i$ 个字符，串2选前 $j$ 个字符，对齐它的最小花费。在此状态下，有意义的 $s 1 [i] 、 s 2 [j]$ 只能是三种情况：
①字符和空格： $f [i] [j - 1] + k;$
②空格和字符： $f [i - 1] [j] + k;$
③字符和字符： $f [i - 1] [j - 1] + d i s (a [i], b [j]);$
在 $a [i]$ 、 $b [j]$ 处俩都加空格显然无意义。
此外，初始状态有两类不为0，且分别表示从另一个串前面添加若干空格。
① $f[i][0]=i∗k;【i∈[1,n]】f[i][0]=i*k;【i\in[1,n]】$
② $f[0][j]=j∗k;【j∈[1,n]】f[0][j]=j*k;【j\in[1,n]】$

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N = 2020,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f,mod=1e9+7;
string a,b;
LL n,m,k,f[N][N];
LL dis(char c1,char c2) {return abs(c1-c2);}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    string aa,bb;cin>>aa>>bb>>k;n=aa.length();m=bb.length();
    a=" ";a+=aa;b=" ";b+=bb;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=i*k;
    for(int j=1;j<=m;j++) f[0][j]=j*k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            f[i][j]=min(min(f[i-1][j],f[i][j-1])+k,f[i-1][j-1]+dis(a[i],b[j]));
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}