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组合数学

异或哈希

处理方式很简单，只要让每一条边的边权都为1，跑一遍最短路即可，原理也很简单可以自行推导。刷到一道题，需要我们找到1~N这条路径里的两个有序的点，一个在前一个在后。有一些题看不出来是最短路，是因为他没有直接问你从起点到终点的最短路。集合之间的最短路问题，有n个连通块，求到终点最少经过几个连通块。由于这两个点是在1~N这条路径上，所以最好用spfa。然后求出 1~i 的小权值，和i~n的最大权值即可。后者我们不可能以i为点跑spfa，这样复杂度过高。也可以不想这些，用数学构造出一个新的最短路。

普通的二维前缀和，如果为了节省空间的话，可以用前缀和数组和原数组公用一个数组。中，正数和p、负数和的绝对值q。理论上，如果一个序列中的所有的数是一样的话，那么其差分数组。若 l、r 能互相看见，说明 l、r 之间的数都需要-1。故，如果我们需要对一个区间进行增减同一个数x的操作。有操作,那么b[1]只可能会被操作 1~p-q次。例如，我们需要将[2,5]内的元素全部都增加1。只需要让b[2]+1, b[6]-1 即可。2、如果b[1]无操作，说明p-q次操作都在。将a[l+1]-1, a[r]+1。

递推者，自小而大，循序渐进；递归者，由上而下，分而治之。

它通过使用二进制位来表示不同的状态，并使用位运算来操作和检索这些状态。在二进制状态压缩中，每个状态被赋予一个唯一的二进制编码，称为状态掩码。例如，假设我们有一个集合 {A, B, C, D}，其中每个元素可以处于两个可能的状态：存在或不存在。我们可以使用一个4位的二进制数来表示这四个元素的状态，其中每一位对应一个元素，0表示不存在，1表示存在。例如，0000表示所有元素都不存在，而1111表示所有元素都存在。通过使用位运算，我们可以高效地对这些状态进行操作。