（2025郑州CCPC C题无代码）珂朵莉树简单分析

珂朵莉树分析

珂朵莉树原理是将整个序列分成若干个块状物，且每个块状物必须要有某种相同的性质如可压缩、可批处理。

区间覆盖

势能分析法

珂朵莉树在区间覆盖操作上并不依赖随机数据，而是具有稳定的上界 $O(n)$（暂时不考虑数据结构对时间复杂度的影响，如果用 $set$，那么区间覆盖操作会多一个 $log$）。

以2025年CCPC郑州邀请赛的金牌题C题为例，证明区间覆盖是具有稳定上界 $O(n)$。

给定一个长度为 $n$ 的序列和 $q$ 次查询，需要维护一个数据结构，每次查询按顺序实现下面两种功能：

1. 给定 $l,r,d$ 将序列区间 $[l,r]$ 的值修改为 $d,d+1,\cdots ,d+r-l$。
2. 查询序列的众数是谁，若有多个数，则返回下标最小的那个。

最开始将区间分成 $n$ 份区间，第 $i$ 区间是以 $a[i]$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列。

不妨设第 $i$ 次操作需要修改的区间是 $[l,r]$，需要修改的区间数量是 $d_i$。

设第 $i$ 次操作后，系统的势能是 $S_i$，$S_i$ 表示当前区间数量。

现在考虑一次操作对区间数量的影响：

• 一次覆盖操作会遍历 $d_i$ 个区间并将其合并为一个区间，所以会使区间数量减少 $d_i-1$，所以贡献是 $1-d_i$。

• 每次查询总序列众数并不会改变区间数量，所以贡献是 $0$。

那么，第 $i-1$ 次到第 $i$ 次操作的势能变化率为：
$$\Delta S_i=S_i-S_{i-1}=1-d_i$$
左右两边同时求和可得：
$$S_q-S_0=q-\sum _{i=1}^q{d}_i$$
把 ${\sum }_{i=1}^q{d}_i$ 移动到左边：
$$\sum _{i=1}^q{d}_i=q+S_0-S_q$$
$S_q$ 表示最后一次操作区间的数量，$S_0$ 表示最开始的分块数量 $n$，不难发现，实际上我们操作 $q$ 次后需要遍历区间的次数是 $O(q+n)$ 的。

分析出这一点有什么用呢？

我们再维护一个权值线段树，每次将给定的区间 $[l,r]$ 中的信息先从权值线段树中删去，直接暴力遍历 $[l,r]$ 内的所有区间即可。

然后再将 $[l,r]$ 合并为一个区间放入珂朵莉树中。

再对权值线段树中值域为 $[d,d+r-l]$ 全体加 $1$ 即可。

非覆盖类区间操作或区间查询

除了最核心的功能，珂朵莉树还能给予其他辅助的功能，如查询区间。

但是必须保证，每次查询的区间 $[l,r]$ 是随机给出的。

随机给出可以理解为：

1. 先随机一个区间长度 $len$。
2. 再随机一个区间起点 $l$。

每个点被随机为起点的概率是 $\frac{1}{n}$。

不妨设 $X_j$ 表示第 $j$ 个区间是否被 $[l,r]$ 所触及，设第 $j$ 个区间长度为 $le{n}_j$

那么一次操作的期望遍历次数是：

$$E=\sum _{i=1}^{S_i}P(X_j=1)=\sum _{i=1}^{S_i}\frac{le{n}_j}{n}=1$$
所以每一次操作需要遍历的段数的期望是常数。

放心大胆地遍历就行了。

代码后续补。