泛函分析 01.02 距离空间-基本概念

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 14: \color{blue}{\̲S̲ ̲1.1 距离空间的基本概念}

$1.1.1距离空间的定义$

在高等数学中引进的最重要的概念就是极限.
定义在R上的函数的许多重要性质是由极限来刻画的.
连续、微分、积分、无穷级数都是由极限定义的.
极限是研究函数的重要工具.
把极限这一概念“类比”地推广到更一般的空间.
所谓空间–是指集合加上一定的“结构”.
$一维空间:数列的极限, x_n \to x(n \to \infty), 如果对于 \forall \varepsilon > 0, \\
\exists 正整数 N, 当n \geq N时, 有 |x_n - x| < \varepsilon, \\
则称数列 x_n \to x (n \to \infty).在这里|x_n - x| 是x_n 和 x 之间的距离 d(x_n, x).\\
即:当n充分大时, x_n 和 x之间的距离 d(x_n, x)可以任意小, 则称数列 x_n \to x(n \to \infty). $

$二维情况:我们可以类似地定义点列的极限.$
$所不同的是x_n和x之间的距离是平面上两点之间的距离.$
$点列x_n=({\xi }_n,{\eta }_n)\to x=(\xi ,\eta )(n\to \infty )的定义:$
$如果对于\forall \epsilon >0,\exists 正整数N,当n\ge N时,有$
$d(x_n, x) = \sqrt{(\xi_n - \xi)^2 + (\eta_n - \eta)^2 } < \varepsilon, $
$则称点列x_n=({\xi }_n,{\eta }_n)\to x=(\xi ,\eta )(n\to \infty ).$
$所不同的只是距离d(x_n,x)的具体表示形式.$
$$\begin{gathered} 在泛函分析中，我们将研究更一般的“空间”以及在这些“空间”上定义的 \\ “函数”、“映射”,进一步讨论与它们相关的极限和运算. \end{gathered}$$
$要在一般的“空间”中建立极限的概念，我们需要再引入“距离”的概念.$
$即在一个集合上定义两点之间的“距离”，使之成为我们下面所说的“距离空间”.$
$$\begin{gathered} 有了距离，我们就可以定义相应的极限.引入极限这一概念(运算), \\ 进而可以研究一般“空间”中的元素(函数、算子)的性质. \end{gathered}$$

$本节的内容：$
$(1)距离空间的定义;$
$(2)距离空间的例子;$
$(3)距离空间中的收敛性.$
$如何定义距离?即如何抽象出极限的本质特征？$
$设x,y是平面上两点:x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2).$
$两点间的距离为:d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}.$
$它满足:$
$$\begin{gathered} 1.距离是非负的:d(x,y)\ge 0; \\ 2.距离是严格正的:d(x,y)=0,当且仅当x=y; \\ 3.距离是对称的:d(y,x)=d(x,y); \\ 4.距离满足三角不等式(两边之和大于第三边):d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y). \\ 我们把具有这些性质的从平面上的点到实数的二元映射(X\times X\to R)定义为距离. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 定义1.1.1(距离空间定义)设X是任意非空集合,对于X中的任何点x,y, \\ 均有一个实数d(x,y)与它对应,且满足: \end{gathered}$$
$(1)d(x,y)\ge 0(非负性);$
$(2)d(x,y)=0,当且仅当x=y(严格正);$
$(3)d(y,x)=d(x,y)(对称性);$
$(4)d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)(三角不等式).$
$则称d(x,y)为X中的一个距离.$
$定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X,d),简记为X.$
$注1:在距离的定义中,保留了实数空间(或者说平面和n维空间)中距离的最基本性质.$
$$\begin{gathered} 从一些具体实例中抽象出问题的本质特征,加以概括,给出在一般意义下的定义, \\ 使之能够运用于更加广阔的范围,是数学研究中的重要方法. \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 注2:性质(1)-(4)称为是距离公理,其中性质(4)来源于三角形中的两边之和大于第三边. \\ 见图1.1.1 \end{gathered}$$

$注3：运用数学归纳法，可把三角不等式推广为:$
$d(x_1,x_n)\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+\cdots +d(x_{n-1},x_n).$
$注4：设(X,d)是一个距离空间,由三角不等式可证，对于任意x,y,z\in X,有$
$|d(x,y)-d(y,z)|\le d(x,z)$
即：两边之差小于第三边.

$d(x,z)+d(y,z)\ge d(x,y)\Rightarrow d(x,y)-d(y,z)\le d(x,z);$
$d(x,z)+d(x,y)\ge d(y,z)\Rightarrow d(y,z)-d(x,y)\le d(x,z);$

$1.1.2距离空间的例$

$例1.1.2在n维实向量空间R^n中,定义d(x,y)=(\sum _{k=1}^n({\xi }_k-{\eta }_k{)}^2{)}^{\frac{1}{2}},(1.1.1)$
$其中x=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n),y=({\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n).则(R^n,d)是一个距离空间.$
$$\begin{gathered} 分析：要证明(R^n,d)是一个距离空间，根据距离空间的定义，即要证明在R^n \\ 中定义的距离(1.1.1)式满足“定义1.1.1”中的条件(1)-(4). \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 前三条(非负、正定、对称)显然成立。只需证明(4)(三角不等式)成立, \\ 证明主要利用Cauchy不等式. \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 证明:(1)-(3)显然成立,下面验证(4)成立. \\ 由Cauchy不等式\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le (\sum _{k=1}^n{a}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}(\sum _{k=1}^n{b}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}, \\ 可推出:(\sum _{k=1}^n(a_k+b_k{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}\le (\sum _{k=1}^n{a}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}+(\sum _{k=1}^n{b}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}(1.1.2) \end{gathered}$$
$事实上，$
$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k{)}^2=\sum _{k=1}^n{a}_k^2+2\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k^2$
$\le \sum _{k=1}^n{a}_k^2+2[(\sum _{k=1}^n{a}_k^2)(\sum _{k=1}^n{b}_k^2){]}^{\frac{1}{2}}+\sum _{k=1}^n{b}_k^2$
$=[(\sum _{k=1}^n{a}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}+(\sum _{k=1}^n{b}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}{]}^2$
$设x=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n),y=({\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n),z=({\zeta }_1,\cdots ,{\zeta }_n)是R^n中的任意三点.$
$在不等式(1.1.2)(\sum _{k=1}^n(a_k+b_k{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}\le (\sum _{k=1}^n{a}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}+(\sum _{k=1}^n{b}_k^2{)}^{\frac{1}{2}}中,$
$令a_k=({\xi }_k-{\zeta }_k),b_k=({\zeta }_k-{\eta }_k),则$
$[\sum _{k=1}^n({\xi }_k-{\eta }_k{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}\le [\sum _{k=1}^n({\xi }_k-{\zeta }_k{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}+[\sum _{k=1}^n({\zeta }_k-{\eta }_k{)}^2{]}^{\frac{1}{2}}$
$即d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
$所以(R^n,d)是一个距离空间,简记为R^n.$
$注1：在n维复向量空间C^n中,可类似地定义距离$
$d(x,y)=(\sum _{k=1}^n|{\xi }_k-{\eta }_k{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$
$注2：在一个集合上可以定义不同的距离，从而得到不同的距离空间.$

$例1.1.3在R^n中,可分别定义$
$d_1(x,y)=\sum _{k=1}^n|{\xi }_k-{\eta }_k|,(1.1.3)$
d∞(x,y)=max⁡{∣ξ1−η1∣,⋯ ,∣ξn−ηn∣},(1.1.4)\qquad d_{\infty}(x, y) = \max \lbrace |\xi_1 - \eta_1 |, \cdots, |\xi_n - \eta_n| \rbrace, \quad (1.1.4)d∞​(x,y)=max{∣ξ1​−η1​∣,⋯,∣ξn​−ηn​∣},(1.1.4)
$由实数的三角不等式，容易验证(R^n,d_1),(R^n,d_{\infty })都是距离空间.$

$例1.1.4序列空间l^{\infty }.$
令l∞={x=(ξj)∣∣ξj∣≤cx},令 l^{\infty} = \lbrace x = (\xi_j) | |\xi_j| \leq c_x \rbrace,令l∞={x=(ξj​)∣∣ξj​∣≤cx​},
$其中c_x与j无关，即l^{\infty }是全体有界的数列.在l^{\infty }中定义$
d(x,y)=sup⁡j∈N{∣ξj−ηj∣},(1.1.5)\qquad d(x, y) = \sup \limits_{j \in N} \lbrace |\xi_j - \eta_j | \rbrace, \quad (1.1.5)d(x,y)=j∈Nsup​{∣ξj​−ηj​∣},(1.1.5)
$其中,x = (\xi_j), y = (\eta_j) \in l^{\infty}并且 N = \lbrace 1, 2, \cdots \rbrace, $
$验证l^{\infty }是一个距离空间$
$注意:由于数列是有界的，(1.1.5)式中的上确界存在.$
$注:l^{\infty }可看作是C^n由(1.1.4)式定义的距离d_{\infty }(x,y)产生的$
$距离空间(C^n,d_{\infty })的推广,由于是无穷序列,\max 被\sup 所代替.$

$例1.1.5连续函数空间C[a,b].$
$考虑闭区间[a,b]上全体连续函数，定义$
$d(x,y)=\underset{a\le t\le b}{\max }|x(t)-y(t)|,(1.1.6)$
$其中x(t),y(t)是[a,b]上的任意两个连续函数,则C[a,b]是一个距离空间.$
$$\begin{gathered} 分析:要证明在由闭区间[a,b]上全体连续函数组成的集合上定义的 \\ 距离(1.1.6)式满足定义1.1.1的(1)-(4). \end{gathered}$$
$证明距离定义中的(1)-(3)(非负、正定、对称)显然成立.下面证明(4)成立.$
$设x(t),y(t),z(t)是[a,b]上任意三个连续函数,$
$要证d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y),即要证:$
$\max \limits_{a \leq t \leq b} | x(t) - y(t) | \leq \max \limits_{a \leq t \leq b} | x(t) - z(t) | + \max \limits_{a \leq t \leq b} | z(t) - y(t) | $
$由绝对值三角不等式，对\forall t\in [a,b],$
$|x(t)-y(t)|\le |x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)|$
$\le \underset{a\le t\le b}{\max }|x(t)-z(t)|+\underset{a\le t\le b}{\max }|z(t)-y(t)|$
$=d(x,z)+d(z,y)$
$所以d(x,y)=\underset{a\le t\le b}{\max }|x(t)-y(t)|\le d(x,z)+d(z,y)$
$于是[a,b]上的全体连续函数赋以上述距离称为一个距离空间，记为C[a,b].$

$例1.1.6在由闭区间[a,b]上定义的全体连续函数组成的集合上,还可以定义$
$d(x,y)={\int }_a^b|x(t)-y(t)|dt(1.1.7)$
$形成一个新的距离空间.$
$它与C[a,b]空间有很大不同.$

$例1.1.7在由[a,b]区间上全体连续函数组成的集合上,我们还可以定义$
d(x,y)={∫ab∣x(t)−y(t)∣2dt}12(1.1.8)\qquad d(x, y) = \lbrace \int_a^b |x(t) - y(t) |^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} \quad (1.1.8)d(x,y)={∫ab​∣x(t)−y(t)∣2dt}21​(1.1.8)
$可以证明它也是一个距离空间(证明见第二章2.2.3节)$
$在第三章可以看到，它是由内积产生的距离，是一个十分重要的距离.$
$注：在一个集合上，可以引进多种距离。要根据研究问题的不同，定义不同的距离.$
$以后我们可以看到，有的距离下空间完备；有的距离下空间不完备.$
$空间的完备性是很重要的，有了完备性，极限运算(微分和积分)才能很好的进行.$
$不同的距离导出的收敛性不同.$
$距离空间中距离的选择是十分重要的.$
$具体定义什么样的距离，要根据不同的问题，设定不同的目标，引进不同的距离.$

$例1.1.8设B为全体由整数组成的元素序列,$
即B={n=(n1,n2,⋯ )∣ni∈N},定义即 B = \lbrace n = (n_1, n_2, \cdots) | n_i \in N \rbrace, 定义即B={n=(n1​,n2​,⋯)∣ni​∈N},定义
$d(n,m)=\{\begin{array}{l}0,如果n_i=m_i,i=1,2,\cdots ,\\ \frac{1}{k},k是n_i\ne m_i头一个指标,\end{array}$
$其中m=(m_1,m_2,\cdots ).可以验证(B,d)是一个距离空间,$
$且这个距离满足“更强”的三角不等式,即对于\forall n,m,h\in B,有$
d(n,m)≤max⁡{d(n,h),d(h,m)}(1.1.9)\qquad d(n, m) \leq \max \lbrace d(n,h), d(h, m) \rbrace \quad (1.1.9)d(n,m)≤max{d(n,h),d(h,m)}(1.1.9)
$$\begin{gathered} 事实上，只要注意到n,h和h,m头一个不相等项的指标一定小于或者 \\ 等于n,m头一个不相等项的指标，则有(1.1.9)式成立. \end{gathered}$$
$这一距离，是从下述数学模型中抽象出来的.$
$假设s(t)是一个通过某一通讯系统送出的信号，且s(t):$
$①每秒取样一次,②在单位时间看作常量,③信号码都编译成整数.$
$如图1.1.2所示:$

在图1.1.2中表示整数的信号是ns={0,1,3,5,6,7,7,8,8,7,⋯ }.在图1.1.2中表示整数的信号是 n_s = \lbrace 0, 1, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 7, \cdots \rbrace.在图1.1.2中表示整数的信号是ns​={0,1,3,5,6,7,7,8,8,7,⋯}.
$由于系统和环境的扰动，收到的信号可能会发生误差.假设收到的信号是$
$\qquad n_r = \lbrace n_{r_1}, n_{r_2}, \cdots \rbrace, $
$则我们可以通过送出和收到的信号的距离d(n_s,n_r)来刻画多长时间某一个误差发生,$
$即d(n_s,n_r)越小,则通信系统不发生误差运行的时间越长.$

$例1.1.9X是一个非空集合,x,y\in X,定义$
$d(x,y)=\{\begin{array}{l}1,x\ne y,\\ 0,x=y\end{array}(1.1.10)$
$容易验证d是一个距离,(X,d)是一个距离空间,称为离散的距离空间,记为D.$
$注:许多距离空间是在线性空间上定义的.$
$在线性空间X中,加法，数乘运算是封闭的.$
$例如R^n,C[a,b],s都是线性空间.$
$但例1.1.9中定义的离散距离D不一定是线性空间.$

$1.1.3距离空间中的收敛$

$在空间中定义了距离后,我们就可以在距离空间中引入极限的概念.$
$这是我们的重要目的之一.$

$定义1.1.10 设(X, d)是一个距离空间, \lbrace x_n \rbrace \subset X, x_0 \in X, $
如果当n→∞时,d(xn,x0)→0,则称{xn}以x0为极限,如果当 n \to \infty 时, d(x_n, x_0) \to 0, 则称 \lbrace x_n \rbrace 以 x_0 为极限,如果当n→∞时,d(xn​,x0​)→0,则称{xn​}以x0​为极限,
或说{xn}收敛到x0,记为或说 \lbrace x_n \rbrace 收敛到x_0, 记为或说{xn​}收敛到x0​,记为
$x_n\to x_0(n\to \infty ),或者\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$
$注1:x_0必须属于(X,d).$
$注2:X是距离空间,其中d(x_n,x_0)\to 0(n\to \infty )是数列趋近于零.$
$注3:对于\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0,用\epsilon -N语言表述为:$
$\forall \epsilon >0,\exists N,当n\ge N时,有d(x_n,x_0)<\epsilon$

距离空间中收敛点列的性质:
定理1.1.11{xn}在X中收敛，则定理1.1.11 \lbrace x_n \rbrace 在X中收敛，则定理1.1.11{xn​}在X中收敛，则
(i){xn}的极限是唯一的.(i) \lbrace x_n \rbrace 的极限是唯一的.(i){xn​}的极限是唯一的.
(ii)若x0是{xn}的极限,则它的任何子列也收敛到x0.(ii) 若x_0是\lbrace x_n \rbrace 的极限, 则它的任何子列也收敛到x_0.(ii)若x0​是{xn​}的极限,则它的任何子列也收敛到x0​.

$分析:利用距离空间中数列极限的定义来证明.$
$证明(i)反之法.假设同时有x_0,y_0\in X,x_0\ne y_0,且$
$x_n\to x_0,x_n\to y_0(n\to \infty ).$
$根据收敛数列的\epsilon -N语言,我们有:$
$对于{\epsilon }_0=\frac{1}{2}d(x_0,y_0)>0,存在N_1,当n\ge N_1时,d(x_0,x_n)<{\epsilon }_0$
$同时存在N_2,当n\ge N_2时,d(y_0,x_n)<{\epsilon }_0$
于是当n≥max⁡{N1,N2}时,于是当n \geq \max \lbrace N_1, N_2 \rbrace 时,于是当n≥max{N1​,N2​}时,
$d(x_0,y_0)\le d(x_0,x_n)+d(x_n,y_0)<2\epsilon =d(x_0,y_0),$
$这是不可能的，因此极限唯一.$
$(ii)与数学分析中(通常实数域距离空间中)收敛数列类似性质的证明方法一样.$
$由已知 x_n \to x_0 (n \to \infty), 根据定义有: $
$\forall \epsilon >0,\exists N,当n\ge N时,d(x_n,x_0)<\epsilon$
设{xnk}是{xn}的子列(要证xnk→x0(k→∞)),设\lbrace x_{n_k} \rbrace 是 \lbrace x_n \rbrace 的子列(要证x_{n_k} \to x_0 (k \to \infty)),设{xnk​​}是{xn​}的子列(要证xnk​​→x0​(k→∞)),
$由n_k\ge k,n_k\to \infty ,(k\to \infty )$
$取K=N,当k>N时,n_k\ge k>K=N,于是d(x_{n_k},x_0)<\epsilon ,$
$即\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=x_0$

$定义1.1.12d(x,y)是关于x和y的二元连续函数.$
$即当x_n\to x,y_n\to y(n\to \infty )时,$
$d(x_n,y_n)\to d(x,y)(n\to \infty )$
$$\begin{gathered} 分析:在距离空间(X,d)中对于任何两点x,y都有唯一确定的实数d(x,y) \\ 与之对应,这说明d(x,y)是一个二元实函数. \end{gathered}$$
$在实数空间中,距离是通常的绝对值距离,定理要证:$
$在条件x_n\to x,y_n\to y(n\to \infty )下,有$
$|d(x_n,y_n)-d(x,y)|\to 0(n\to \infty )$

$证明：由距离的三角不等式有:$
$d(x_n, y_n) \leq d(x_n, x) + d(x, y) + d(y, y_n), $
$即: d(x_n, y_n) - d(x, y) \leq d(x_n, x) + d(y_n, y), $
$同理有: d(x, y) - d(x_n, y_n) \leq d(x_n, x) + d(y_n, y), $
$于是有:$
$|d(x_n,y_n)-d(x,y)|\le d(x_n,x)+d(y_n,y)\to (n\to \infty ).$

$距离空间中收敛的“含义”$
$下面在一些距离空间中，我们研究收敛的“具体含义”.$

$例1.1.13R^m空间,设x_n=({\xi }_1^{(n)},{\xi }_2^{(n)},\cdots ,{\xi }_m^{(n)})(n=1,2,\cdots ),$
$x=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_m)\in R^m,则d(x_n,x)\to 0,等价于$
${\xi }_i^{(n)}\to {\xi }_i(n\to \infty ),i=1,2,\cdots ,m.(1.1.11)$
$在R^m空间中，点列的收敛，等价于按坐标收敛.$
$证明:d(x_n,x)\to 0,即\sqrt{({\xi }_1^{(n)}-{\xi }_1{)}^2+\cdots +({\xi }_n^{(n)}-{\xi }_m{)}^2}\to 0.(n\to \infty )$
$|{\xi }_i^{(n)}-{\xi }_i|\le (\sum _{k=1}^m|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}=d(x_n,x),i=1,2,\cdots ,m$
$d(x_n,x)=(\sum _{k-1}^m|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}\le |{\xi }_1^{(n)}-{\xi }_1|+\cdots +|{\xi }_m^{(n)}-{\xi }_m|$
$即可得到结论(空间中点列的收敛,等价于按坐标收敛).$

$例1.1.14C[a,b]空间.$
$C[a,b]中的收敛性是函数列在[a,b]上的一致收敛.$
$设x_n(t)(n=1,2,\cdots ),x(t)\in C[a,b],且d(x_n,x)\to 0,即$
$\underset{a\le t\le b}{\max }|x_n(t)-x(t)|\to 0(n\to \infty ).$
$于是对\forall \epsilon \ge 0,\exists N,当n\ge N时,对\forall t\in [a,b],有$
$|x_n(t)-x(t)|\le \underset{a\le t\le b}{\max }|x_n(t)-x(t)|<\epsilon ,$
$即:x_n(t)一致收敛到x(t).$
$反之，x_n(t)一致收敛到x(t)可以推出d(x_n,x)\to 0.$
$事实上，x_n(t)一致收敛到x(t),即:$
$对\forall \epsilon \ge 0,\exists N,当n\ge N时,对\forall t\in [a,b],有$
$\qquad | x_n(t) - x(t) | < \varepsilon, $
$上式两边对t\in [a,b]取最大值,则$
$\underset{a\le t\le b}{\max }|x_n(t)-x(t)|\le \epsilon$
$说明x_n\to x(n\to \infty )$
$即C[a,b]中的收敛是函数列在[a,b]上的一致收敛.$

$例1.1.15设X表示由[0,1]区间上全体连续函数组成的集合,定义$
d2(x,y)={∫01∣x(t)−y(t)∣2dt}12(1.1.12)d_2(x, y) = \lbrace \int_0^1 |x(t) - y(t)| ^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} \quad (1.1.12)d2​(x,y)={∫01​∣x(t)−y(t)∣2dt}21​(1.1.12)
$可以证明，d_2(x,y)是X上定义的距离(证明见第二章第2.2.3节)$
考虑(X,d2)中的点列{xn},xn(t)={1−nt,0≤t≤1/n,0,1/n<t≤1.考虑(X, d_2)中的点列\lbrace x_n \rbrace, x_n(t) = \left \lbrace \begin{array}{l} 1 - nt, 0 \leq t \leq 1/n, \\ 0, \qquad 1/n < t \leq 1. \end{array} \right.考虑(X,d2​)中的点列{xn​},xn​(t)={1−nt,0≤t≤1/n,0,1/n<t≤1.​
则{xn}收敛到x0≡0.则\lbrace x_n \rbrace 收敛到x_0 \equiv 0.则{xn​}收敛到x0​≡0.
$事实上,$
d2(xn,x0)={∫01∣xn(t)−x0(t)∣2dt}12d_2(x_n, x_0) = \lbrace \int_0^1 |x_n(t) - x_0(t)| ^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}}d2​(xn​,x0​)={∫01​∣xn​(t)−x0​(t)∣2dt}21​
={∫01n(1−nt)2dt}12=(3n)−12→0=\lbrace \int_0^{\frac{1}{n}}(1-nt)^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} = (3n)^{-\frac{1}{2}} \to 0={∫0n1​​(1−nt)2dt}21​=(3n)−21​→0

注:上述{xn}在距离(1.1.7)下也收敛到x0.注:上述\lbrace x_n \rbrace 在距离(1.1.7)下也收敛到x_0.注:上述{xn​}在距离(1.1.7)下也收敛到x0​.
$d(x,y)={\int }_0^1|x(t)-y(t)|dt(1.1.7)$
注2:由于xn(0)≡1,{xn}并不一致收敛到x0.注2:由于x_n(0) \equiv 1, \lbrace x_n \rbrace 并不一致收敛到 x_0.注2:由于xn​(0)≡1,{xn​}并不一致收敛到x0​.
$(甚至x_n(t)都不是每点收敛到x_0(t))$
$$\begin{gathered} 这说明这些空间中点列(函数列)的收敛与C[a,b]中点列的收敛 \\ 在“具体意义”下有很大不同. \end{gathered}$$

$例1.1.16在C[0,1]中我们重新考虑上面的例子.$
对于∀n,都有d(xn,x0)≡1,于是{xn}不收敛于x0.对于\forall n, 都有d(x_n, x_0) \equiv 1, 于是\lbrace x_n \rbrace不收敛于 x_0.对于∀n,都有d(xn​,x0​)≡1,于是{xn​}不收敛于x0​.
初学者可能会认为{xn}趋近于y0,其中初学者可能会认为\lbrace x_n \rbrace 趋近于y_0,其中初学者可能会认为{xn​}趋近于y0​,其中
$y_0(t)=\{\begin{array}{l}1,t=0,\\ 0,0<t<1.\end{array}$
但是要注意y0∈‾C[0,1],于是{xn}不趋近于y0.但是要注意y_0 \overline{\in} C[0, 1],于是\lbrace x_n \rbrace 不趋近于y_0.但是要注意y0​∈​C[0,1],于是{xn​}不趋近于y0​.
$事实上，对\forall N,\exists n,2n>N,有$
$d(x_n,x_{2n})=\frac{1}{2},$
可见在空间C[0,1]中，点列{xn}不收敛.可见在空间C[0, 1]中，点列\lbrace x_n \rbrace 不收敛.可见在空间C[0,1]中，点列{xn​}不收敛.
$注:由上述例子可知，同一个点列,在不同的距离空间中收敛性会不相同.$

$例1.1.17空间s.$
设s={{ξn}},即全体实数列组成的集合.定义设s = \lbrace \lbrace \xi_n \rbrace \rbrace,即全体实数列组成的集合.定义设s={{ξn​}},即全体实数列组成的集合.定义
$d(x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k-{\eta }_k|}{1+|{\xi }_k-{\eta }_k|}(1.1.13)$
其中x={ξk},y={ηk},则其中 x = \lbrace \xi_k \rbrace, y = \lbrace \eta_k \rbrace, 则其中x={ξk​},y={ηk​},则
$(1)s为距离空间;$
$(2)s中的收敛是按坐标收敛,即$
$设x_n=({\xi }_1^{(n)},{\xi }_2^{(n)},\cdots ,{\xi }_k^{(n)},\cdots )\in s,$
$x=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_k,\cdots )\in s,$
$则“d(x_n,x)\to 0(n\to \infty )”\iff \forall k,{\xi }_k^{(n)}\to {\xi }_k(n\to \infty )$
$分析(1)：要证s为距离空间，只要证明在s中所定义的距离d满足距离定义4条即可.$
$其中(1),(2),(3)显然成立,只要验证(4)三角不等式成立,即$
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
$利用函数\phi (t)=\frac{t}{1+t}的单增性,以及三角绝对值不等式,可以加以证明.$
$证明:(1):验证距离定义的条件(4)成立.$
$考虑\phi (t)=\frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t},t\in (0,\infty ),\phi (t)是单增的.$
设x={ξk},y={ηk},z={ζk},由于设x = \lbrace \xi_k \rbrace, y = \lbrace \eta_k \rbrace, z = \lbrace \zeta_k \rbrace, 由于设x={ξk​},y={ηk​},z={ζk​},由于
$|{\xi }_k-{\eta }_k|\le |{\xi }_k-{\zeta }_k|+|{\zeta }_k-{\eta }_k|$
$结合\phi (t)是单增的,则$
$\frac{|{\xi }_k-{\eta }_k|}{1+|{\xi }_k-{\eta }_k|}\le \frac{|{\xi }_k-{\zeta }_k|+|{\zeta }_k-{\eta }_k|}{1+|{\xi }_k-{\zeta }_k|+|{\zeta }_k-{\eta }_k|}$
$\le \frac{|{\xi }_k-{\zeta }_k|}{1+|{\xi }_k-{\zeta }_k|}+\frac{|{\zeta }_k-{\eta }_k|}{1+|{\zeta }_k-{\eta }_k|}$
$在上面不等式两边乘以\frac{1}{2^k}并求和,有$
$d(x,y)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k-{\eta }_k|}{1+|{\xi }_k-{\eta }_k|}$
$\le \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k-{\zeta }_k|}{1+|{\xi }_k-{\zeta }_k|}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\zeta }_k-{\eta }_k|}{1+|{\zeta }_k-{\eta }_k|}$
$=d(x,z)+d(z,y)$
$我们把这个距离空间记为s.$
$分析(2):要证明d(x_n,x)\to 0\iff \forall k,{\xi }_k^{(n)}\to {\xi }_k.$
$必要性要证:对于任意给定的k_0\in N,要能做到:$
$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,有|{\xi }_{k_0}^{(n)}-{\xi }_{k_0}|<\epsilon$
$证明(2):必要性.$
$对于任意给定的k_0,对于\forall \epsilon >0,令{\epsilon }_0=\frac{1}{2^{k_0}}\frac{\epsilon }{1+\epsilon }>0,$
$当n>N时,有d(x_n,x)<{\epsilon }_0,即:$
$d(x_n, x) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k^{(n)} - \xi_k|}{1 + |\xi_k^{(n)} - \xi_k|} < \varepsilon_0 = \dfrac{1}{2^{k_0}} \dfrac{\varepsilon}{1 + \varepsilon}, $
$由于每项都是正的,于是我们有$
$\frac{1}{2^{k_0}}\frac{|{\xi }_{k_0}^{(n)}-{\xi }_{k_0}|}{1+|{\xi }_{k_0}^{(n)}-{\xi }_{k_0}|}<\frac{1}{2^{k_0}}\frac{\epsilon }{1+\epsilon },(n>N)$
$结合 \varphi(t) = \dfrac{t}{1 + t} 是单增的,有 |\xi_{k_0}^{(n)} - \xi_{k_0}| < \varepsilon, $
$即{\xi }_{k_0}^{(n)}\to {\xi }_{k_0}(n\to \infty )$
$分析(2)：充分性我们要证:$
$\forall k,{\xi }_k^{(n)}\to {\xi }_k(n\to \infty )\Rightarrow d(x_n,x)\to 0(n\to \infty )$
$即要证明:d(x_n,x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}{1+|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}\to 0(n\to \infty )$
$注意到收敛的级数，充分靠后面的无穷多项的和可任意小.对于前面的有限项，$
$由条件可以找到共同的N,当n>N时,级数中的这些项都一致很小.$
$证明(2)充分性.$
$对于\forall \epsilon >0,\exists K,使得\sum _{k=K+1}^{\infty }\frac{1}{2^k}<\frac{1}{2}\epsilon$
$由于{\xi }_k^{(n)}\to {\xi }_k(n\to \infty )(k=1,2,\cdots ,K),$
$所以存在N,当n>N时,|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|<\frac{\epsilon }{2}(k=1,2,\cdots ,K)$
$于是当n>N时,$
$d(x_n,x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}{1+|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}$
$=\sum _{k=1}^K\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}{1+|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}+\sum _{k=K+1}^{\infty }\frac{1}{2^k}\frac{|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}{1+|{\xi }_k^{(n)}-{\xi }_k|}$
$<\frac{1}{2}\epsilon \sum _{k=1}^K\frac{1}{2^k}+\sum _{k=K+1}^{\infty }\frac{1}{2^k}<\epsilon$
即{xn}在s中收敛到x.即\lbrace x_n \rbrace 在s 中收敛到x.即{xn​}在s中收敛到x.
$注:在上面有关级数的证明中, 由级数的收敛性, 先让后面项的和“很小”, $
$再对前面的有限项进行估计,这是很常用的方法.$

$例1.1.18空间S.$
$S中的元素为E上全体几乎处处有限的可测函数,$
$其中E\subset R是一个Lebesgue可测集,且mE<\infty$
$对于x=x(t),y=y(t)\in S,定义$
$d(x,y)={\int }_E\frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|}dt$
$则$
$(1)S为距离空间;$
$(2)S中的收敛是依测度收敛.$
$即d(x_n,x)\to 0(n\to \infty )等价于x_n\stackrel{m}{\to }x(n\to \infty )(依测度收敛)$
$(1)用例1.1.17的方法可证明S是一个距离空间.$
$(2)分析(\Rightarrow ):$
$由d(x_n,x)\to 0要推出x_n\stackrel{m}{\to }x(n\to \infty )$
$什么是依测度收敛?$
$x_n\stackrel{m}{\to }x(n\to \infty )\iff 对于\forall \sigma >0,$
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞),m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace \to 0 (n \to \infty),m{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞),
$即对于\forall \sigma >0,\forall \epsilon >0,存在N,当n>N时,$
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}<εm \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace < \varepsilonm{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}<ε
$我们将集合E分成两部分:$
$对于任意给定的\sigma >0和自然数n,令$
$E_1 = \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | < \sigma \rbrace, $
$E_2 = \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace, $
$E=E_1\cup E_2$
$利用函数\frac{t}{1+t}单增来证明$
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace \to 0 (n \to \infty)m{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)
$证明(2):对于任意给定的\sigma >0,由$
$d(x_n,x)={\int }_E\frac{|x_n(t)-x(t)|}{1+|x_n(t)-x(t)|}dt$
≥∫{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}∣xn(t)−x(t)∣1+∣xn(t)−x(t)∣dt\geq \int _{ \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace} \dfrac{|x_n(t) - x(t)|}{1 + |x_n(t) - x(t)|} dt≥∫{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}​1+∣xn​(t)−x(t)∣∣xn​(t)−x(t)∣​dt
$因为\frac{t}{1+t}单增,而|x_n(t)-x(t)|\ge \sigma ,于是$
d(xn,x)≥∫{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}σ1+σdtd(x_n, x) \geq \int_{ \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbrace } \dfrac{\sigma}{1 + \sigma} dtd(xn​,x)≥∫{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}​1+σσ​dt
=σ1+σm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}(1.1.14)= \dfrac{\sigma}{1+\sigma} m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace \quad (1.1.14)=1+σσ​m{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}(1.1.14)
$由于d(x_n,x)\to 0(n\to \infty ),\sigma 给定,由不等式$
d(xn,x)≥σ1+σm{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}d(x_n, x) \geq \dfrac{\sigma}{1+\sigma} m \lbrace t \in E | | x_n(t) - x(t)| \geq \sigma \rbraced(xn​,x)≥1+σσ​m{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}
$推出$
m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t) | \geq \sigma \rbrace \to 0 (n \to \infty)m{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ}→0(n→∞)
$反之,由x_n(t)\stackrel{m}{\to }x(t)(n\to \infty ),可推出$
$d(x_n,x)\to 0(n\to \infty ).事实上,$
$d(x_n,x)={\int }_E\frac{|x_n(t)-x(t)|}{1+|x_n(t)-x(t)|}dt$
$={\int }_{E_1}\frac{|x_n(t)-x(t)|}{1+|x_n(t)-x(t)|}dt+{\int }_{E_2}\frac{|x_n(t)-x(t)|}{1+|x_n(t)-x(t)|}dt$
$\le {\int }_{E_1}\frac{\sigma }{1+\sigma }dt+{\int }_{E_2}\frac{|x_n(t)-x(t)|}{1+|x_n(t)-x(t)|}dt$
$\le \frac{\sigma }{1+\sigma }mE+m{E}_2$
$对于\forall \epsilon >0,取{\sigma }_{0}mE<\frac{\epsilon }{2},对于此{\sigma }_0>0,上式成立.$
$由$
mE2=m{t∈E∣∣xn(t)−x(t)∣≥σ0}→0,m E_2 = m \lbrace t \in E | |x_n(t) - x(t)| \geq \sigma_0 \rbrace \to 0,mE2​=m{t∈E∣∣xn​(t)−x(t)∣≥σ0​}→0,
$存在N,当n\ge N时,m{E}_2<\frac{\epsilon }{2}.$
$(这里用到了依测度收敛)$
$于是$
$d(x_n,x)\le \frac{{\sigma }_0}{1+{\sigma }_0}mE+m{E}_2$
$ < \sigma_0 m E + \dfrac{\varepsilon}{2} = \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$
$即d(x_n,x)\to 0(n\to \infty )$