泛函分析（空间部分）知识点总结

最近为补充数学知识，在小破站学习了内蒙古大学孙炯老师《泛函分析》, 本文是前半部分（距离空间、赋范空间、内积空间）部分知识点的一个小总结.

泛函分析（空间部分）

距离空间

距离、距离空间的定义

非空集合$A$中任意两个元素$x,y$, $d(x,y)$满足

1. 正定: $\forall x,y\in A,d(x,y)>0$, 且$d(x,y)=0\iff x=y$
2. 对称: $\forall x,y\in A,d(x,y)=d(y,x)$
3. 三角不等式: $\forall x,y,z,d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z)$

称$(X,d)$是距离空间, $d(\cdot ,\cdot )$是距离.

距离空间例

R n = { ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) ∣ x i ∈ R } \R ^ n = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_i \in \R\} Rn={ (x1​,x2​,⋯,xn​)∣xi​∈R}, $d(x,y)$可定义欧式距离、哈密顿距离等

l ∞ = { x = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n , ⋯   ) , ∣ ξ n ∣ ≤ c x } l^\infty= \{x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots), |\xi_n| \leq c_x\} l∞={ x=(ξ1​,ξ2​,⋯,ξn​,⋯),∣ξn​∣≤cx​}: 所有有界序列组成的元素, $d(x,y)={\sup }_{j\in {\mathbb{N}}^{\ast }}|{\xi }_j-{\eta }_j|$

$C[a,b]$: 所有在$[a,b]$区间上连续的函数, $d(x,y)={\max }_{a\le t\le b}|x(t)-y(t)|$

离散距离空间: $\forall A\ne \varnothing ,\forall x,y\in A,d(x,y)=\mathbb{I}(x\ne y)$

距离空间中的收敛性

有了距离空间，就可以引入极限的概念.

定义$(X,d)$的序列 { x n } n = 1 ∞ \{x_n\}_{n=1}^\infty { xn​}n=1∞​在$n\to \infty$时$d(x_n,x_0)\to 0$为 { x n } \{x_n\} { xn​}以$x_0$为极限.

{ x n } \{x_n\} { xn​}极限唯一, { x n } \{x_n\} { xn​}的子列也收敛到$x_0$.

$d(x,y)$是二元连续函数.

内点、开集、邻域

开球: $(X,d)$空间中 B ( x , r ) = { x ∈ X ∣ d ( x 0 , x ) < r } B(x, r) = \{x\in X|d(x_0, x) < r\} B(x,r)={ x∈X∣d(x0​,x)<r}

内点: $x\in G\subseteq X$是$G$的内点$\iff \exists \epsilon >0,B(g,\epsilon )\subseteq G$

开集: 所有点都是内点的集合. 如开球是开集.

拓扑定义下的开集: 空集全集, 任意并, 有限交

等价距离

两个距离是等价的，$\exists C_1,C_2,\forall x,y,C_1{d}_1\le d_2\le C_2{d}_1\iff d_1\sim d_2$

连续函数

$T:(X,d)\to (X_1,d_1)$满足$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,d(x,x_0)<\delta \to d_2(Tx,T{x}_0)<\epsilon$

等价叙述:

1. $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,TB(x_0,\delta )\subseteq B(T(x_0),\epsilon )$

2. 开集的原象是开集

3. $T$可与求极限运算交换顺序: ${\lim }_{n\to \infty }T{x}_n=T{\lim }_{n\to \infty }{x}_n$

闭集

闭集定义: $A$是$(X,d)$中闭集$\stackrel{△}{=}{\complement }_{X}A$是开集

$A$的接触点: 任意邻域中有$A$的点（聚点: 将“邻域”改成“去心邻域”）

定义$d(x,A)={\inf }_{a\in A}d(x,a)$, 则接触点即与$A$距离为$0$的点.

闭包: A ˉ = △ { x ∣ d ( x , A ) = 0 } \bar A \overset \triangle = \{x | d(x, A) = 0\} Aˉ=△{ x∣d(x,A)=0}

$A$是闭集$\iff A=\bar{A}\iff A$中收敛点列极限在$A$中.

可分距离空间

$A$在$B$上稠密 $\stackrel{△}{=}$ $\bar{B}=A$

等价描述: ∀ b ∈ B , ∃ { a n } n = 1 ∞ , lim ⁡ n → ∞ a n = b \forall b \in B, \exists \{a_n\}_{n=1}^\infty, \lim_{n\to \infty}a_n = b ∀b∈B,∃{ an​}n=1∞​,limn→∞​an​=b

可分: 存在可数稠密子集

列紧距离空间

序列紧(Wierstrass定理), Borel紧(开覆盖) (两种紧性等价)

$A$是$(X,d)$子集，若$A$中每个无穷点列存在收敛点列，则称$A$是列紧的.

列紧且闭: 自列紧(收敛到自己) ，自列紧推出“有界且闭”

列紧集的子集有界

自列紧空间上的实值函数可取得极大、极小值.

完备

所有柯西列收敛

完备空间的闭子空间完备

列紧空间是完备的

距离空间的完备化

所有距离空间都可以完备化

压缩映射原理

$(X,d)$完备, $T:X\to X$满足$\exists \theta \in (0,1),d(Tx,Ty)\le \theta d(x,y)$, 则$T$有唯一不动点(这个收敛是指数速度的)

应用:

1. 压缩型矩阵方程

2. 微分方程、积分方程

   • 一般微分方程

   $$\{\begin{array}{l}x(t_0)=x_0\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x,t)\end{array}\Rightarrow x={\int }_{t_0}^{t}f(x,\tau )\mathrm{d}\tau$$

   • Fredhom积分方程
     $$x(t)=\phi (t)+\mu {\int }_a^{b}k(t,s)x(s)$$