跳楼梯--递归--动态规划--过渡

最新推荐文章于 2024-07-06 09:16:20 发布

@student_L

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分类专栏：算法课笔记

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本文通过一个n阶楼梯问题探讨了如何使用递归和动态规划来求解。首先展示了一个未优化的递归解决方案，指出其存在大量重复计算的问题，然后通过记忆化搜索优化递归算法，最后引入动态规划方法，显著减少了计算次数。当楼梯阶数增加时，动态规划的优势更加明显。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

来源：JK老班

题目：n阶楼梯，每次跳1 或 3 或 4阶，问有几种跳法？

1.递归：

#include<iostream>
using namespace std;
int count=0;//调用次数
int F(int i){
   count++;
   if(i==0) return 1;
   int sum=0;
   if(i>=1) sum+=F(i-1);
   if(i>=3) sum+=F(i-3);
   if(i>=4) sum+=F(i-4);
   return sum;
}

int main(){
   int n=20;
   cout<<F(n)<<endl;
   cout<<"count="<<count;
}

大量重复计算。

可以将算过的返回加起来，避免重复计算。

2.递归优化：

#include<iostream>
using namespace std;
int count=0;//调用次数
int A[100]={0};

int F(int i){
   count++;
   if(A[i]!=0) return A[i];
   if(i==0) return 1;
   int sum=0;
   if(i>=1) sum+=F(i-1);
   if(i>=3) sum+=F(i-3);
   if(i>=4) sum+=F(i-4);
   A[i]=sum;
   return sum;
}

int main(){
   int n=20;
   cout<<F(n)<<endl;
   cout<<"count="<<count;
}

查看实际计算次数：

#include<iostream>
using namespace std;
int count=0;
int A[100]={0};

int F(int i){
   if(A[i]!=0) return A[i];
   if(i==0) return 1;
   count++;
   int sum=0;
   if(i>=1) sum+=F(i-1);
   if(i>=3) sum+=F(i-3);
   if(i>=4) sum+=F(i-4);
   A[i]=sum;
   return sum;
}

int main(){
   int n=20;
   cout<<F(n)<<endl;
   cout<<"count="<<count;
}

楼梯阶数多时，递归调用次数还是很多的。

3.动态规划：

#include<iostream>
using namespace std;
int count=0;
int A[100]={0};

int main(){
   int n=40; A[0]=1;
   for(int i=1;i<=n;i++){
       A[i]=A[i-1];
       if(i>=3) A[i]+=A[i-3];
       if(i>=4) A[i]+=A[i-4];
   }
   cout<<A[n];
}