luogu1045麦森数：高精度乘法+快速幂

题目连接

• 该题是luogu试炼场的2-11：T2
• 参考1：高精度*高精度（稍后更新）
• 参考2：快速幂

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题目大意

1. 输入n，求 2ⁿ-1 的值；
2. 输出有要求1：输出数位；
3. 输出有要求2：后500位，分10行输出；

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题目分析

• n的范围是(1000,3100000)，还给出了极值的长度有90W+位：
• 朴素思维1：高精度*低精度，暴力拿50分soeasy!
• 正派思路2：数学计算+快速幂 满分
• 骨骼清奇的思路3：强行压位暴力算

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朴素思维：高精度*低精度

1. 暴力循环 n 次，2ⁿ-1应该能拿部分分；
2. 提交发现拿了 50分，仁慈的数据~~

代码:

//luogu1045:麦森数1:50分 

//高精度*低精度 
//暴力拿部分分

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct nod{int a[10000005],len;}a;
int n;

void cf()
{
	//乘法 
	for(int i=1;i<=a.len;i++) a.a[i]*=2;
	
	//进位 
	for(int i=1;i<=a.len;i++)
	{
		if(a.a[i]>=10)
		{
			a.a[i+1]+=a.a[i]/10;
			a.a[i]%=10;
			if(i==a.len) a.len++;
		}
	}	
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	a.len=1;
	a.a[1]=1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)  
	{
		cf();//*2的计算 
	}
	
	//个位 -1 
	a.a[1]-=1; 
	//借位 
	for(int i=1;i<=a.len;i++)
	{
		if(a.a[i]<0)
		{
			a.a[i]=0;
			a.a[i+1]--;
		}
		else break;
	}
	
	printf("%d\n",a.len);//输出位数 
	
	n=10;
	while(n--)
	{
		for(int i=50;i>=1;i--) printf("%d",a.a[n*50+i]);
		printf("\n");
	}

  return 0;
}

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解题思路：数学计算+快速幂

1. 3w*90w的运算，暴力肯定是过不了的；
2. 答案只要求输出500位，显然可能500位以上的，不需要具体运算；
3. 就可以分两步走了：

• 用某些（数学）方法算出答案的数位长度：2ⁿ 与数位的关系？

  • 1 我们知道10^x 的数位就是 x+1；
  • 2 设2ⁿ =10^x
  • 3 x = log₁₀ ( 2ⁿ )
  • 4 因为有公式： log_n(a*b)=log_n(a)+log_n(b)
  • 5 由3 联立： x = log₁₀ ( 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * …* 2)
  • 6 由 4，5联立：x = log₁₀(2)+log₁₀(2)+log₁₀(2)+ …+log₁₀(2)
  • 7 所以： x = n * log₁₀(2) ；

• 进行500位的快速幂运算；

代码2:

• 计算数位+快速幂优化

//luogu1045:麦森数 

//1：数学计算数位 
//2：高精度*高精度+快速幂 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct nod{int a[1005],len; nod(){memset(a,0,sizeof(a));}}a,b;
int n;

nod cf(nod x,nod y)//最多只做 500 位的运算 
{
	//初始化 
	nod z;
	if(x.len>500) x.len=500;
	if(y.len>500) y.len=500;
	z.len=x.len+y.len-1;
	
	//乘法 
	for(int i=1;i<=x.len;i++)
	{
		for(int j=1;j<=y.len;j++)
		{
			z.a[i+j-1]+=x.a[i]*y.a[j];
		}
	}

	//进位 
	for(int i=1;i<=z.len;i++)
	{
		if(z.a[i]>=10)
		{
			z.a[i+1]+=z.a[i]/10;
			z.a[i]%=10;
			if(i==z.len&&z.len<=500) z.len++;
		}
	}
	return z;	
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	
	printf("%d\n",int(log10(2)*n+1));//数学算位数 
	
	a.len=1; a.a[1]=1;//存答案 
	b.len=1; b.a[1]=2;//寄存过程值 
	
	while(n>0)//快速幂 
	{
		if(n%2>0) a=cf(a,b);//幂是奇数：2^3=2*(2^2) 
		
		b=cf(b,b);//幂是偶数：2^8=(2^2)^4 
		
		n/=2;
	}

	//个位 -1 
	a.a[1]-=1; 
	for(int i=1;i<=a.len;i++)//借位
	{
		if(a.a[i]<0)
		{
			a.a[i]=0;
			a.a[i+1]--;
		}
		else break;
	}
	
	//输出 
	n=10;
	while(n--)
	{
		for(int i=50;i>=1;i--) printf("%d",a.a[n*50+i]);
		printf("\n");
	}

  return 0;
}

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骨骼清奇的思路3

• 直接压数位，暴力过

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