【莫比乌斯反演】[BZOJ 2820 YY的GCD]

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本文介绍了一种利用素数筛预处理及线性分块技术解决特定数学问题的方法。通过埃拉托斯特尼筛法计算莫比乌斯函数，并采用前缀和优化查询过程，最终实现高效计算。

从黄学长那盗来的图
这里写图片描述

可以线筛预处理F,或者暴力枚举质数（这个复杂度我不能确定）,按照素数粗略个数n/logn以及调和级数求和logn来看暴力的复杂度接近On
处理完F以后就是喜闻乐见的下底函数分块

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxl 10000001

int n,m;
int no[maxl],p[maxl],mu[maxl];
long long sum[maxl];
long long ans;

void shai()
{
    no[1]=1;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxl;i++)
    {
        if(!no[i])
            p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        int j=1,t=p[1]*i;
        while(j<=p[0] && t<maxl)
        {
            no[t]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                mu[t]=0;
                break;
            }
            mu[t]=-mu[i];
            t=i*p[++j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=p[0];i++)
    {
        int num=p[i];
        for(int j=1;j*num<maxl;j++)
            sum[j*num]+=mu[j];
    }
    for(int i=1;i<maxl;i++)
        sum[i]+=sum[i-1];
}

void prework()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)
    {
        int t=n;
        n=m;
        m=t;
    }
}

int min(int x,int y)
{
    if(x<y)
        return x;
    else
        return y;
}

void mainwork()
{
    int pos=0;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min((n/(n/i)),(m/(m/i)));
        ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
}

void print()
{
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    int t;
    shai();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        prework();
        mainwork();
        print();
    }
    return 0;
}