bzoj4709: [Jsoi2011]柠檬洛谷P5504

最新推荐文章于 2020-09-03 22:20:25 发布

原创最新推荐文章于 2020-09-03 22:20:25 发布 · 192 阅读

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本文深入探讨了一种使用单调栈维护上凸包进行动态规划(DP)的算法，该方法适用于解决一类特殊的问题，如洛谷P5504题目。通过将问题转化为对相同颜色的元素进行DP转移，利用前缀和与DP状态方程，实现了对斜率递增条件的优化。文章详细解析了如何维护单调栈，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4709

https://www.luogu.com.cn/problem/P5504

这题跟之前的单调队列维护的斜率不太一样。。。直接维护一个单调栈

设dp[i]为前i个分段的最大值，那么转移到dp[i]的时候，必须选择a[i]作为s0,因为不选择a[i]的话，多出这个a[i]就没有意义。

那么我们就知道是对每种相同的颜色来考虑dp转移了

设sum[i]为a[i]在这个颜色出现的前缀和

得到式子：a[i]*(sum[k]-1)*(sum[k]-1)+dp[k-1]=2*a[i]*sum[i]*(sum[k]-1)+dp[i]-a[i]sum[i]*sum[i]

令2*a[i]*sum[i]为k，(sum[k-1])为x，前面的为y，且我们此时只对a[i]考虑，a[i]是个定值

那么x是递增的，y也是递增的，k也是递增的且大于0，我们希望dp[i]最大也就是截距最大，所以需要维护一个上凸包

所以我们维护一个单调栈而不是单调队列，因为上凸包末尾的斜率<当前的k的时候，我们需要弹出末尾的点，最大值也是在末尾取。

末尾斜率<当前的k直接用末尾两个点值比大小就可以了，无需再判断斜率。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxl=1e5+10;
typedef long long ll;

int n,mx,tot;
int a[maxl],b[maxl],sum[maxl],num[maxl];
int top[maxl];
ll dp[maxl];
struct node
{
	ll x,y;
};
vector<node> s[maxl];

inline void prework()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		mx=max(mx,a[i]);
		num[a[i]]++;
		sum[i]=num[a[i]];
	}
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		s[i].resize(num[i]+1);
}

inline ll calc(ll k,node d)
{
	return d.y-k*d.x;
}

inline bool cmpk(node a,node b,node c)
{
	return 1.0*(b.y-a.y)*(c.x-b.x)<=1.0*(c.y-b.y)*(b.x-a.x);
}

inline void mainwork()
{
	node d;ll k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		d.x=sum[i]-1;
		d.y=1ll*a[i]*(sum[i]-1)*(sum[i]-1)+dp[i-1];
		k=2ll*a[i]*sum[i];
		while(top[a[i]]>1 && cmpk(s[a[i]][top[a[i]]-1],s[a[i]][top[a[i]]],d))
			top[a[i]]--;
		s[a[i]][++top[a[i]]]=d;
		while(top[a[i]]>1 && calc(k,s[a[i]][top[a[i]]])<=calc(k,s[a[i]][top[a[i]]-1]))
			top[a[i]]--;
		dp[i]=calc(k,s[a[i]][top[a[i]]])+1ll*a[i]*sum[i]*sum[i];
	}
}

inline void print()
{
	printf("%lld",dp[n]);
}

int main()
{
	prework();
	mainwork();
	print();
	return 0;
}