BZOJ4518 洛谷p4072 [SDOI2016]征途

https://www.luogu.com.cn/problem/P4072

其实我是在wqs二分里面看见这题的，然而我发现斜率优化可以秒了

然而一开始搞错了方差公式，后来发现要除以一个m，于是想不清楚为什么一定是整数了。。。不过写了一发就过了，也不想纠结

我们先假设不除m,len为总长度

设每一段长度为ai,那么它的方差*m*m等于，ai^2*m^2-2*m*len*ai+len*len，我们发现这个len*len可以提出来最后算

于是可以列出dp方程

f[i][j]=min { f[i-1][k]+(sum[j]-sum[k])^2*m^2-2*m*len*(sum[j]-sum[k]) },最后答案ans= （ f[m][n]+m*len*len）/m

化成斜截式为f[i-1][k]+m^2*sum[k]^2+2*m*len*sum[k]=2*m^2*sum[j]*sum[k]+f[i][j]-m^2*sum[j]^2+2*m*len*sum[j]

y递增，斜率2*m^2*sum[j]递增，x=sum[k]递增，希望f[i][j]尽可能小，也就是截距最小

那么就是维护一个下凸包，然后单调队列搞一搞就好了

wqs二分待补

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxl=3010;
typedef long long ll;

ll n,m,ans,len;
ll sum[maxl];
ll dp[maxl][maxl];
struct node
{
	ll x,y;
}s[maxl];

inline void prework()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
	len=sum[n];
}

inline ll calc(ll k,int id)
{
	return s[id].y-k*s[id].x;
}

inline bool cmpk(node a,node b,node c)
{
	return 1.0*(b.y-a.y)*(c.x-b.x)>=1.0*(b.x-a.x)*(c.y-b.y);
}

inline void mainwork()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dp[1][i]=sum[i]*sum[i]*m*m-2*m*len*sum[i];
	int head,tail;node d;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		head=1,tail=1;
		d.x=sum[i-1];
		d.y=dp[i-1][i-1]+m*m*sum[i-1]*sum[i-1]+2*m*len*sum[i-1];
		s[1]=d;
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			while(head<tail && calc(2*m*m*sum[j],head)>=calc(2*m*m*sum[j],head+1))
				head++;
			dp[i][j]=calc(2*m*m*sum[j],head)+m*m*sum[j]*sum[j]-2*m*len*sum[j];
			d.x=sum[j];
			d.y=dp[i-1][j]+m*m*sum[j]*sum[j]+2*m*len*sum[j];
			while(head<tail && cmpk(s[tail-1],s[tail],d))
				tail--;
			s[++tail]=d;
		}
	}
	ans=(dp[m][n]+m*len*len)/m;
}

inline void print()
{
	printf("%lld",ans);
}

int main()
{
	prework();
	mainwork();
	print();
	return 0;
}