最近公共祖先LCA算法（倍增算法）

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

倍增算法

倍增算法的主要思想是通过引入一个二维数组f[v][i]，表示节点v的第个祖先。

该段为核心代码

f[u][0] = fa;
dep[u] = dep[fa] + 1;
for (int k = 1; (1 << k) <= dep[u] - 1; k++) {
	f[u][k] = f[f[u][k - 1]][k - 1];
}

其中根节点的深度dep[root]=1。

f[u][0]是顶点u的父亲节点fa，对于顶点u来说，其第个祖先的深度dep为dep[u]-(1<<i),因此终止条件为(1 << i) <= dep[u] - 1,但其他人的代码里有的是用dep[u]代替dep[u] - 1，一样可以过。使用 dep[v] 或许更符合深度的定义，并且通常不会出现需要减去 1 的情况。深度 dep[u] 本身是从根节点到 v 的路径长度，而 步的祖先实际上并不一定要严格从根节点计算。因此，直接用 dep[u] 作为循环条件可以避免很多冗余的减法,我是这么理解的。

LCA算法

int lca(int x, int y) {
	if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
	for (int i = 21; i >= 0; i--) {
		if (dep[x] <= dep[y] - (1 << i)) {
			y = f[y][i];
		}
	}
	if (x == y) return x;
	for (int i = 21; i >= 0; i--) {
		if (f[x][i] == f[y][i]) continue;
		else {
			x = f[x][i]; y = f[y][i];
		}
	}
	return f[y][0];
}

让y作为深层顶点，依次由大到小查找x的祖先节点，其过程就像将一个十进制数由大到小转化为二进制数一样 。

第一轮循环后，x与y在同一深度，之后进行特判x == y ;

第二轮循环是查找x与y的公共祖先，从大到小，假设x,y的公共祖先差的深度为H,则该过程就像将H用二进制表示一样，如果f[x][i] == f[y][i]，则该点置为0，否则置为1（就是跳到处的祖先）。

另一个问题是邻接表的建立

void add(int u, int v) {
	e[cnt].to = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt++;
}

head[u]表示顶点u的首条边，初始化为-1，根据e[head[u]]，to表示u的邻居顶点，next表示下一条边，形成一个邻接链表。或者用一个vector构建邻接矩阵也行。

以下就是本题的详细代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxsize = 5e5 + 10;
struct edge {
	int to, next;
}e[maxsize * 2];
int head[maxsize];
int f[maxsize][22];
int dep[maxsize];
int cnt = 0;
int n, m, s;
void add(int u, int v) {
	e[cnt].to = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt++;
}
void dfs(int u, int fa) {
	f[u][0] = fa;
	dep[u] = dep[fa] + 1;
	for (int k = 1; (1 << k) <= dep[u] - 1; k++) {
		f[u][k] = f[f[u][k - 1]][k - 1];
	}
	for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
		int w = e[i].to;
		if (w != fa) dfs(w, u);
	}
}
int lca(int x, int y) {
	if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
	for (int i = 21; i >= 0; i--) {
		if (dep[x] <= dep[y] - (1 << i)) {
			y = f[y][i];
		}
	}
	if (x == y) return x;
	for (int i = 21; i >= 0; i--) {
		if (f[x][i] == f[y][i]) continue;
		else {
			x = f[x][i]; y = f[y][i];
		}
	}
	return f[y][0];
}
int main()
{
	scanf("%d %d %d", &n, &m, &s);
	memset(head, -1, sizeof(head));
	memset(f, 0, sizeof(f));
	int u, v;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d %d", &u, &v);
		add(u, v); add(v, u);
	}
	dfs(s, 0);
	while (m--) {
		scanf("%d %d", &u, &v);
		printf("%d\n", lca(u, v));
	}
	return 0;
}